Lista 9: Niezależne zmienne

Zadania na ćwiczenia: 2025-04-28

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Załóżmy, że \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) są niezależnymi zmiennymi losowymi Bernoulliego, dla których \[ \mathbb{P}(\xi_k = 1) = p, \quad \mathbb{P}(\xi_k = 0) = 1 - p, \quad \text{dla } 1 \leq k \leq n. \] Wyznacz prawdopodobieństwo warunkowe, że pierwsza jedynka („sukces”) pojawi się w \(m\)-tym kroku, pod warunkiem, że w ciągu \(n\) kroków sukces wystąpił dokładnie raz.

   \(1/n\)

2. Zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne. \(X\) ma rozkład jednostajny na przedziale \([0,1]\), a \(Y\) ma rozkład zadany przez \(\mathbb{P}[Y = -1] = 1/3\), \(\mathbb{P}[Y = 2] = 2/3\).

   1. Oblicz \(\mathbb{P}[3X < Y]\).
   2. Wyznacz rozkład zmiennej \(XY\).

      a \(4/9\), b jednostajny na \([-1,2]\)

3. Zmienne losowe \(X\) i \(Y\) są niezależne i mają rozkłady wykładnicze z parametrami odpowiednio \(\lambda\) i \(\mu\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(X + Y\).

   Jeżeli \(\mu \neq \lambda\), to jest to rozkład o gęstości \(\mu\lambda (e^{-\mu x} -e^{-\lambda x})\mathbf{1}_{[0, +\infty)}(x)/(\lambda -\mu)\) Jeżeli \(\mu=\lambda\), to jest to rozkład o gęstości \(\lambda^2x e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{[0, +\infty)}(x)\).

4. Podaj przykład dwóch zależnych zmiennych losowych \(X\) i \(Y\), dla których \(X^2\) i \(Y^2\) są niezależne.

   \(X=Y\) takie, że \(\mathbb{P}[X=1=\mathbb{P}[X=-1]=1/2\).

5. Załóżmy, że \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) są niezależnymi i identycznie rozłożonymi zmiennymi losowymi, dla których: \[ \mathbb{P}\{\xi_j = 1\} = p, \quad \mathbb{P}\{\xi_j = 0\} = 1 - p, \] dla pewnego \(0 < p < 1\). Niech \(S_k = \xi_1 + \ldots + \xi_k\), gdzie \(k \leq n\). Udowodnij, że dla \(1 \leq m \leq n\) zachodzi: \[ \mathbb{P}(S_m = k \mid S_n = l) = \frac{\binom{m}{k} \binom{n - m}{l - k}}{\binom{n}{l}}. \]

   Zauważmy, że \(S_n-S_m = \xi_{m+1}+\ldots + \xi_n\). Wobec tego zmienne \(S_m\) oraz \(S_n-S_m\) są niezależne i mają rozkłady odpowiednio \(\mathrm{Bin}(m,p)\) oraz \(\mathrm{Bin}(n-m,p)\). Mamy więc \[\begin{multline*} \mathbb{P}[S_m=k, \: S_n=l] = \mathbb{P}[S_m=k, \: S_n-S_m=l-k] \\ = {m \choose k}p^k(1-p)^{m-k}{n-m \choose l-k} p^{l-k}(1-p)^{n-m-l+k} \end{multline*}\] Podstawiając powyższe wyliczenie do wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy tezę.

Zadania na ćwiczenia

6. Niech \(X\) będzie zmienną losową posiadającą wartość oczekiwaną. Pokaż, że dla zdarzenia \(A\) o dodatnim prawdopodobieństwie \[\begin{equation*} \mathbb{E}[X|A] = \frac{1}{\mathbb{P}[A]} \mathbb{E}\left[ X \mathbf{1}_A \right]. \end{equation*}\]

7. Niech \(\vec{X}=(X_1, \ldots , X_n)\), gdzie zmienne \(X_1, \ldots , X_n\) są niezależne z gęstościami odpowiednio \(f_1, \ldots , f_n\). Pokaż, że \(X_1, \ldots, X_n\) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor losowy \(\vec{X}\) ma rozkład o gęstości \[\begin{equation*} f_{\vec{X}}(x_1,x_2 \ldots , x_n) = f_1(x_1) \cdot f_2(x_2) \cdots f_n(x_n). \end{equation*}\]

8. Niech \(X_1, \ldots, X_n\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(1\). Znajdź rozkład \(Y = \min_{1 \leq i \leq n} X_i\). Czy \(X_n\) i \(Y\) są niezależne?

9. Niech \(X\) i \(Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach całkowitych. Pokaż, że dla każdej wartości \(k\) zachodzi \[ \mathbb{P}[X + Y = k] = \sum_{j = -\infty}^{+\infty} \mathbb{P}[X = k - j] \mathbb{P}[Y = j]. \]

10. Zmienne losowe \(X_1, \ldots, X_n\) są niezależne i mają rozkłady Poissona z parametrami \(\lambda_i\). Pokaż, że \(X_1 + \ldots + X_n\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\lambda_1 + \ldots + \lambda_n\).

11. Załóżmy, że \(X_1\) i \(X_2\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio \(\mathcal{N}(m_1, \sigma_1)\) i \(\mathcal{N}(m_2, \sigma_2)\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(X_1 + X_2\).

12. Niech \(E_1\) i \(E_2\) będą niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozkładach Exp(\(\lambda\)). Znajdź rozkład \(E_1\) pod warunkiem \(\{ E_1 \leq t < E_1+E_2\}\) dla \(t>0\).

13. Niech \(\Omega\subseteq \mathbb{R}\) będzie kołem jednostkowym. Rozważmy \(\mathcal{F}=\mathcal{B}or(\Omega)\) oraz \(\mathbb{P}\) jako unormowaną dwuwymiarową miarę Lebesgue’a. Rozważmy zmienne losowe \(X(\omega) = \omega_1/\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}\), \(Y(\omega)=\omega_2/\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}\) oraz \(Z(\omega) = \omega_1^2+\omega_2^2\) dla \(\omega=(\omega_1, \omega_2) \in \Omega\).

    1. Czy zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne?
    2. Czy zmienne \(X\) i \(Z\) są niezależne?

14. Niech \(Z\) będzie zmienną losową o rozkładzie \(\mathrm{Exp}(1)\). Niech \(\{Z\}\) oznacza część ułamkową zmiennej \(Z\), a \([Z]\) — jej część całkowitą.

    1. Udowodnij, że \(\{Z\}\) i \([Z]\) są niezależne oraz wyznacz ich rozkłady jawnie.
    2. Rozważmy dodatnią zmienną losową \(X\), której rozkład jest absolutnie ciągły z gęstością \(\varphi\) taką, że \(\{X\}\) i \([X]\) są niezależne i \(\{X\}\) ma rozkład jednostajny na \([0, 1]\). Znajdź \(\varphi\).

Zadania dodatkowe

15. Z odcinka \([0,1]\) losujemy niezależnie w sposób jednostajny liczby \(X_1, X_2, \ldots\). Uzasadnij, że z prawdopodobieństwem \(1\), ciąg \(\{X_n\}\) jest gęsty w odcinku \([0,1]\).

16. Scharakteryzuj gęstości doodatnich zmiennych losowych \(X\) dla których \([X]\) oraz \(\{X\}\) są niezależne.

17. Niech \(\Gamma \in \mathcal{F}\) i niech \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) będzie \(\sigma\)-ciałem. Udowodnij, że następujące warunki są równoważne:

    1. \(\Gamma\) jest niezależny od \(\mathcal{G}\) względem \(\mathbb{P}\),
    2. dla każdego prawdopodobieństwa \(\mathbb{Q}\) na \((\Omega, \mathcal{F})\), równoważnego z \(\mathbb{P}\), takiego że \(\left(\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\right)\) jest \(\mathcal{G}\)-mierzalna, zachodzi \(\mathbb{Q}(\Gamma) = \mathbb{P}(\Gamma)\).