Lista 6: Wartość oczekiwana

Zadania na ćwiczenia: 2025-03-31

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

W urnie jest $b \geq 1$ kul białych i $c \geq 1$ czarnych. Obliczyć $\mathbb{E}[X]$, jeśli $X$ jest liczbą wylosowanych kul białych podczas losowania bez zwracania $n$ kul ($n \leq b + c$);

$bn/(b+c)$

Zmienna losowa ma rozkład o gęstości $g(x) = 5x^4 \mathbb{I}_{[0,1]}(x)$. Obliczyć
1. $\mathbb{E}[X]$
2. $\mathbb{E}[1/(1+X^5)]$.

5/6 b. $\log(2)$

Oblicz $\mathbb{E}[X]$ jeżeli $X$ jest zmienną o rozkładzie:
1. Poiss($\lambda$),
2. Exp($\lambda$),
3. Geom($p$).
4. $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$.

$\lambda$ b. $1/\lambda$, c. $1/p$, d. $\mu$

Zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny $U[0,1]$. Obliczyć $\mathbb{E}[Y]$ jeżeli
1. $Y = e^X$,
2. $Y = \cos^2(\pi X)$.

$e-1$ b. $1/2$

Niech $F$ będzie dystrybuantą zmiennej losowej $X$, a $f$ jej gęstością. Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości zmiennych losowych:
1. $a X + b$ dla $a > 0$;
2. $|X|$;
3. $X^2$;
4. $e^X$;

W terminach $F$ i $f$.

\[\begin{align*} a. & F((t-b)/a) & f((x-b)/a)/a \\ b. & F(t)-0F(-t) & f(x)-f(-x) \\ c. & F(\sqrt{t}) - F(-\sqrt{t}) & (f(\sqrt{x}) +f(\sqrt{x}))/(2\sqrt{x}) \\ d. & F(\log(t)) & f(\log(x))/x 1_{y>0} \end{align*}\]

Zadania na ćwiczenia

Monika wybrała się do kasyna w Las Vegas mając przy sobie 255$. Jako cel postawiła sobie wygranie $1$ dolara w ruletkę i wyjście z kasyna z kwotą 256$. Podczas tej wizyty obstawiała kolory. Wszystkie pola poza 0 i 00 są czerwone lub czarne (po 18 pól). Poprawne wskazanie koloru (z prawdopodobieństwem 18/38) podwaja zaryzykowaną kwotę. Monika zastosowała następującą strategię: postanowiła, że będzie grać kolejno o 1$, 2$, 4$, 8$, 16$, 32$, 64$, 128$. Jeżeli w jednej z gier wygra, zabiera nagrodę i opuszcza kasyno z 256 dolarami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jej się powiodło. Obliczyć wartość oczekiwaną wygranej.
Losujemy cięciwę w okręgu o promieniu jeden poprzez wylosowanie jej środka. Niech $X_2$ będzie długością wylosowanej cięciwy. Wyznacz rozkład $X_2$. Czy rozkład ten jest absolutnie ciągły? Wyznacz gęstość. Znajdź $\mathbb{E}[X_2]$.
Każdy bok i każda przekątna $2n$-kąta foremnego malujemy losowo na jeden z trzech kolorów. Wybór każdego koloru jest jednakowo prawdopodobny, a kolorowania różnych odcinków są niezależne. Niech $X$ oznacza liczbę jednobarwnych trójkątów prostokątnych o wierzchołkach będących wierzchołkami $2n$-kąta. Obliczyć $\mathbb{E}[X]$.
W urnie znajduje się 50 białych kul. Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli, przy czym wyciągniętą kulę malujemy na czerwono, jeśli jest biała. Niech $X$ będzie liczbą czerwonych kul w urnie po 20 losowaniach. Obliczyć $\mathbb{E}[X]$.
Na płaszczyźnie zaznaczono $n$ punktów w taki sposób, że żadne trzy nie są współliniowe. Każda para punktów została połączona odcinkiem z prawdopodobieństwem $p$. Niech $X$ oznacza liczbę powstałych trójkątów. Oblicz $\mathbb{E}X$.
Pokaż, że jeżeli zmienna losowa $X$ ma rozkład dyskretny skoncentrowany na liczbach całkowitych nieujemnych, to \[ \mathbb{E}[X] = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(X \geq k). \]
Niech $X$ będzie zmienną losową o dystrybuancie $F$. Wykaż, że
1. Jeżeli $X \geq 0$, to $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty \mathbb{P}(X>t)\: d t = \int_0^\infty \mathbb{P}(X \geq t)\:d t$ przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość.
2. Jeżeli $X$ jest dowolną zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej, to $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty \left( 1 - F(t) \right)\: d t - \int_{-\infty}^0 F(t)\: d t$.
3. Jeżeli $X \geq 0$, $\varphi$ jest rosnąca i różniczkowalna, $\varphi(0) = 0$, to $\mathbb{E}[\varphi(X)] = \int_0^\infty \varphi '(t) \mathbb{P}(X>t)\: d t$. W szczególności, jeżeli $r > 0$, to $\mathbb{E}[X^r] = \int_0^\infty r t^{r-1} \mathbb{P}(X>t)\: d t$.
Udowodnić, że jeżeli $X \geq 0$, to $\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X \geq n) \; \leq \; \ \mathbb{E}[X] \; \leq 1 + \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(X \geq n)$.

Lista 5: Zmienne losowe

Lista 7: Powtórka przed kolokwium