Lista 15: Funkcje charakterystyczne i centralne twierdzenie graniczne

Zadania na ćwiczenia: 2025-06-16

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź funkcje charakterystyczne rozkładów

   1. \(\mathrm{Bin}(n,p)\), \(n \in \mathbb{N}\), \(p\in (0,1)\)
   2. \(\mathrm{Geo}(p)\), \(p \in (0,1)\)
   3. \(\mathrm{Pois}(\lambda)\), \(\lambda >0\).

\[\begin{align*} a. & (pe^{it}+1-p)^n \\ b. & \frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}\\ c. & \exp \{\lambda (e^{it}-1) \} \end{align*}\]

2. Znajdź funkcję charakterystyczną zadanych rozkładów ciągłych

   1. \(\mathcal{U}[a,b]\), \(a<b\), \(a,b \in \mathbb{R}\)
   2. \(\mathrm{Exp}(\lambda)\), \(\lambda >0\)

\[\begin{align*} a. & (e^{itb} - e^{ita})/(it(b-a)) \\ b. & \lambda/(\lambda-it) \\ \end{align*}\]

3. Rzucono \(1000\) razy sześcienną kostką. Znaleźć przybliżenie prawdopodobieństwa, że suma oczek będzie zawarta między \(3410\) a \(3590\).

0.905

4. Zmienne losowe \(X_1, \ldots, X_n\) są niezależne i mają ten sam rozkład. Wiedząc, że \(\sum_{i=1}^n X_i\) ma rozkład \(\mathcal{N}(0,1)\), wyznacz rozkład zmiennych \(X_i\).

\[\begin{equation*} e^{-t^2/2} = \varphi_{\sum X_i}(t) = \varphi_{X_1}(t)^n \end{equation*}\] stąd \(\varphi_{X_1}(t) = e^{-t/(2n)}\). Czyli \(X_1 \sim \mathcal{N}(0,1/n)\).

5. Załóżmy, że ciągi zmiennych losowych \(\{X_n\}\) i \(\{Y_n\}\) są niezależne oraz \(X_n \Rightarrow X\) i \(Y_n \Rightarrow Y\) przy czym \(X\) i \(Y\) są niezależne. Pokaż, że \[ X_n + Y_n \Rightarrow X + Y. \]

Jest to nawiązanie do zadania z poprzedniej listy. Mamy \[\begin{equation*} \varphi_{X_n+Y_n}(t) = \varphi_{X_n}(t)\varphi_{Y_n}(t) \to \varphi_{X}(t)\varphi_{Y}(t)= \varphi_{X+Y}(t) \end{equation*}\]

Zadania na ćwiczenia

6. Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(U[0,1]\), a \(Y\) niezależną od \(X\) zmienną losową o rozkładzie równomiernym na zbiorze \(\{0, 1, \ldots, n-1\}\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(X + Y\).

7. Niech \(\vec{X}\) będzie \(d\)-wymiarowym wektorem losowym o średniej zero i macierzy kowariancji \(\Sigma\). Uzasadnij, że \(\vec{X}\) ma \(d\)-wymiarowy rozkład normalny \(\mathcal{N}(0, \Sigma)\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\) zmienna losowa \(\left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle\) ma jednowymiarowy rozkład normalny \(\mathcal{N}(0, \langle \vec{t}, \Sigma \vec{t} \rangle)\).

8. Udowodnić, że jeżeli \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) jest ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych \(\mathcal{B}(n,p_n)\) oraz \(\lim_{n \to \infty} np_n = \lambda > 0\), to \(X_n \Rightarrow \mathrm{Pois}(\lambda)\).

9. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z funkcją charakterystyczną \(\varphi\). Niech \(N\) będzie (niezależną od ciągu \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\)) zmienną losową o rozkładzie: \(\mathbb{P}[N=n] = p_n\) dla \(n \in \mathbb{N}\). Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej \(S_N = \sum_{i=1}^N X_i\). Wywnioskować wzór Walda \(\mathbb{E}[S_N] = \mathbb{E}[X_1] \mathbb{E}[N]\).

10. Pokazać, że dla każdego \(c \in \mathbb{R}\) zachodzi \[\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{j=0}^{n+c\sqrt{n}} \frac{n^j}{j!} = \int_{-\infty}^c \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-s^2/2} \mathrm{d}s. \end{equation*}\] Wywnioskować, że \[\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{j=0}^n \frac{n^j}{j!} \; = \; \frac{1}{2}. \end{equation*}\]

11. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że \(\mathbb{E} [X_1] = 0\) oraz \(\mathbb{V}ar[X_1] = 1\). Pokazać, że:

    1. \(U_n \; = \; \frac{\sqrt{n}\sum_{i=1}^n X_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2} \; \Rightarrow \; \mathcal{N}(0,1)\);
    2. \(V_n \; = \; \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n X_i^2}} \; \Rightarrow \; \mathcal{N}(0,1)\).

12. Niech \(\left\{\vec{X}_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}\) będzie ciągiem niezależnych \(d\)-wymiarowych wektorów losowych o tym samym rozkładzie ze średnią \(\vec{m}\) i macierzą kowariancji \(\Sigma\). Pokaż, że \[\begin{equation*} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(\vec{X}_1+\vec{X}_2 +\ldots +\vec{X}_n - n \vec{m} \right) \Rightarrow \mathcal{N}(\vec{0}, \Sigma). \end{equation*}\]

13. Dany jest ciąg \(\{X_n\}_{n=1}^\infty\) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla \(n \geq 1\), \[\begin{align*} \mathbb{P}(X_n = -1) & = \mathbb{P}(X_n = 1) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n^2} \right), \\ \mathbb{P}(X_n = -n) & = \mathbb{P}(X_n = n) = \frac{1}{2n^2}. \end{align*}\] Definiujemy schemat serii \(X_{n,k} = X_k/\sqrt{n}\), \(k = 1, \ldots, n\). Udowodnij, że nie jest spełniony warunek Lindeberga, ale mimo to ciąg \[ \sum_{k=1}^n X_{n,k} = \frac{\sum_{k=1}^n X_k}{\sqrt{n}} \] zbiega według rozkładu do \(\mathcal{N}(0,1)\).

Zadania dodatkowe

14. Pokazać, że warunek Lapunowa: dla wszystkich \(n,k\) naturalnych i pewnego \(\delta>0\) jest \(\mathbb{E}|X_{n,k}|^{2+\delta}<\infty\) oraz \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{s_n^2} \sum_{k=1}^n{\mathbb{E}\left| X_{n,k} -\mathbb{E} X_{n,k} \right|^{2+\delta} }=0, \] gdzie \(s_n = \sum_k \mathbb{V}ar[X_{n,k}]\), pociąga za sobą warunek Lindeberga.

15. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że \(\mathbb{E} [X_1] = 0\) oraz \(\mathbb{V}ar[X_1] = \sigma^2\). Pokazać, że jeżeli \(f\) jest funkcją różniczkowalną w zerze, to \[ \sqrt{n} \left(f(S_n/n) - f(0)\right) \; \Rightarrow \; \mathcal{N} \left(0,(\sigma f'(0))^2\right) \; , \] gdzie \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\).

16. Niech \(X_1, X_2,\ldots\) będą niezależne o rozkładach \(\mathbb{P} [X_j =\pm j] = (2j)^{-1}\) i \(\mathbb{P}[X_j = 0] = 1 - j^{-1}\). Dowieść,że \(n^{-1}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n )\) zbiegają słabo do rozkładu o funkcji charakterystycznej \[ \varphi(t)= \exp \left\{ \int_0^1(\cos (tx) - 1) \frac{\mathrm{d} x}{x} \right\}.\]

17. Załóżmy, że \(\{X_n\}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie i ich wspólna dystrybuanta jest funkcją ciągłą. Mówimy, że \(X_j\) jest rekordem, jeżeli \(X_j > X_i\) dla każdego \(i < j\). Niech \(Y_n\) będzie liczbą rekordów wśród pierwszych \(n\) zmiennych losowych. Pokaż, że \[ \frac{Y_n - \log n}{\sqrt{\log n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1). \]

    Pokaż, że zdarzenia \(\{X_n \text{ jest rekordem}\}\) są niezależne.