Lista 13: Słaba zbieżność

Zadania na ćwiczenia: 2025-06-02

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Niech \(\{X_n\}\) będzie ciągiem zmiennych losowych takim, że \(X_n\) ma rozkład \(\text{Exp}(\lambda_n)\). Pokaż, że jeżeli \(\lambda_n \to \lambda >0\), to \(X_n \Rightarrow\text{Exp}(\lambda)\).

   Wystarczy zbadać zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej. Dla \(t \geq 0\) mamy \[\begin{equation*} \mathbb{P}[X_n\leq t] = 1 - e^{-\lambda_nt} \to 1-e^{-\lambda t}. \end{equation*}\]

2. Czy zmienne losowe posiadające gęstość mogą słabo zbiegać do rozkładu dyskretnego? Czy zmienne losowe o rozkładach dyskretnych mogą słabo zbiegać do rozkładu posiadającego gęstość?

   \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \delta_{k/n} \Rightarrow \lambda_{1|[0,1]}\) oraz \(\mathcal{N}(0,1/n) \Rightarrow \delta_0\).

3. Niech \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym \(U[0,1]\). Niech \(Y_n = n \min_{1 \le i \le n} X_i\). Pokaż, że \(Y_n\) zbiega słabo do rozkładu wykładniczego \(\text{Exp}(1)\).

   Mamy \[\begin{equation*} \mathbb{P}[Y_n>t] = (1-t/n)^{n} \to e^{-t} \end{equation*}\]

4. Niech \(F \subseteq \mathbb{R}^d\). Pokaż, że dla każdych \(x,y \in \mathbb{R}^d\) \[ |\mathrm{dist}(x,F) - \mathrm{dist}(y,F)| \leq \|x-y\|.\] Wywnioskuj, że dla \(\epsilon>0\) funkcja \(f(x) = (1-\mathrm{dist}(x,F)/\epsilon)_+\) jest jednostajnie ciągła.

   Niech \(f\) będzie dowolnym elementem \(F\). Z nierówności trójkąta \[\begin{equation*} \| x-f\| + \|x-y\|\leq \|y-f\| \end{equation*}\] biorąc kres dolny po \(f \in F\), \[\begin{equation*} \mathrm{dist}(x,F) + \|x-y\|\leq \mathrm{dist}(y,F). \end{equation*}\] Zamieniając \(x\) i \(y\) miejscami i stosując ten sam argument otrzymujemy pierwszą tezę. Druga teza wynika teraz z nierówności \(|a_+ -b_+|\leq |a-b|\) dla \(a,b \in \mathbb{R}\).

5. Niech \(n \in \mathbb{N}\). Z liczb \(\{1, \ldots , n\}\) losujemy trzy liczby. Niech \(X_n\) będzie ich medianą (środkową wartością). Pokaż, że \(X_n/n\) przy \(n \to \infty\) zbiega według rozkładu do rozkładu o gęstości \(6x(1-x) \mathbf{1}_{[0,1]}(x)\).

   Mamy \[\mathbb{P}[X_n=k] = 6(k-1)(n-k)/(n(n-1)(n-2)).\] Dla każdej \(f\in C_b(\mathbb{R})\) mamy \[\begin{align*} \mathbb{E}[f(X_n)] & = \sum_{k} f(k/n) 6 (k-1)(n-k)/(n(n-1)(n-2)) \\ & \to \int_0^1 f(x) 6 x(1-x) \mathrm{d}x \end{align*}\]

Zadania na ćwiczenia

6. Wykaż, że dodatnie zmienne losowe \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) zbiegają słabo do rozkładu \(\mathcal{U}[0,1]\) wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne losowe \(Y_n = -2 \log X_n\) zbiegają słabo do rozkładu wykładniczego \(\text{Exp}(1/2)\).

7. Pokaż, że jeśli \(X,\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) są zmiennymi losowymi oraz \(X_n \to^\mathbb{P} X\), to \(X_n \Rightarrow X\).

8. Pokaż, że jeśli \(X,\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) są zmiennymi losowymi oraz \(X_n \Rightarrow c \in \mathbb{R}\), to \(X_n \to^\mathbb{P} c\).

9. Niech \(X\), \(\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}\), \(Y\), \(\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) będą zmiennymi losowymi takimi, że \[\begin{equation*} X_n \Rightarrow X \quad \mbox{oraz} \quad Y_n \Rightarrow Y. \tag{31.1} \end{equation*}\]

   1. Pokaż, że jeżeli \(X_n\) i \(Y_n\) są niezależne oraz \(X\) i \(Y\) są niezależne, to to ma miejsce słaba zbieżność dwuwymiarowych wektorów losowych \[\begin{equation*} (X_n, Y_n) \Rightarrow (X,Y). \end{equation*}\]

   2. Pokaż, że jeżeli \((X_n,Y_n) \Rightarrow (X,Y)\), to \[\begin{equation*} X_n + Y_n \Rightarrow X+Y. \end{equation*}\]

   3. Podaj przykład zmiennych losowych dla których (31.1) ale nie jest prawdą, że \(X_n+Y_n \Rightarrow X+Y\).

10. Pokaż, że jeśli \(X_n \Rightarrow X\) oraz \(Y_n \Rightarrow c \in \mathbb{R}\), to \(X_n + Y_n \Rightarrow X + c\);

11. Niech \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym standardowym rozkładzie normalnym \(\mathcal{N}(0,1)\). Niech \(Y_n = n \min_{1 \le i \le n} |X_i|\). Pokaż, że \(Y_n\) zbiega słabo do rozkładu wykładniczego. Z jakim parametrem?

12. Niech dla \(n\in \mathbb{N}\) \(X_n\) będzie liczbą punktów stałych jednostajnie wylosowanej permutacji liczb \(\{1, 2, \ldots , n\}\). Znajdź granicę według rozkładu ciągu zmiennych \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}\).

13. Niech \(\mu_\alpha = \mathcal{N}(m_\alpha, \sigma^2_\alpha)\). Udowodnić, że rodzina \(\{\mu_\alpha : \alpha \in \Lambda\}\) jest ciasna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie \(K > 0\), że dla wszystkich \(\alpha \in \Lambda\) jest \[ |m_\alpha| \leq K, \quad \sigma^2_\alpha \leq K. \]

    Pokaż, że rodzina jest ciasna wtedy i tylko wtedy, gdy \[\begin{equation*} \lim_{t \to \infty} \sup_{\alpha \in \Lambda} \frac{t -m_{\alpha}}{ \sigma_\alpha} = \infty. \end{equation*}\]

Zadania dodatkowe

14. Niech \(c_{j,n}\) dla \(j\leq n\) będzie kolekcją liczb rzeczywistych. Pokaz, że jeśli \[ \max_{1 \leq j \leq n} |c_{j,n}| \to 0, \quad \lim_{n\to \infty} \sum_{j=1}^{n} c_{j,n} = \lambda, \quad \text{oraz} \quad \sup_n \sum_{j=1}^{n} |c_{j,n}| < \infty, \] to \[ \lim_{n \to \infty}\prod_{j=1}^{n} (1 + c_{j,n}) = e^{\lambda}. \]

15. Niech \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na zbiorze \(\{1, 2, \ldots, N\}\). Oznaczmy przez \(T_N = \min \{n : X_n = X_m \text{ dla pewnego } m < n\}\). Oblicz granicę według rozkładu ciągu \(T_N/\sqrt{N}\), gdy \(N \to \infty\). Wykorzystaj otrzymany wynik do rozwiązania problemu urodzin: oszacuj prawdopodobieństwo, że w gronie 23 osób są dwie mające urodziny tego samego dnia.

16. Niech \(\mu\) będzie miarą \(\sigma\)-skończoną, \(f_n, f\) — funkcjami nieujemnymi i takimi, że miary \(\nu_n(A) = \int_A f_n\, d\mu\), \(\nu(A) = \int_A f\, d\mu\) są miarami probabilistycznymi. Niech \(f_n \to f\) \(mu\)-p.w. Udowodnić, że \[ \sup_A |\nu(A) - \nu_n(A)| \leq \int_\Omega |f - f_n|\, d\mu \to 0. \] Wywnioskuj, że \(\nu_n \Rightarrow \nu\).

17. Niech \(X_n\) będzie pierwszą współrzędną zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na kuli jednostkowej w \(\mathbb{R}^n\). Wykazać, że \[ \sqrt{n} X_n \Rightarrow \mathcal{N}(0,1). \]

18. Niech \(\xi_1, \xi_2, \ldots\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie \(\mathbb{P}[\xi_k = \pm 1] = 1/2\). Niech \(S_n = \sum_{k=1}^n \xi_k\). Pokaż, że nie istnieje zmienna losowa \(\eta\) taka, że \(S_n/\sqrt{n} \to \eta\) według prawdopodobieństwa.