Twierdzenie Fubiniego

Przedstawimy pokrótce elementarne własności i przykłady miar produktowych. Następnie zobaczymy kilka zastosowań twierdzenia Fubiniego. Wszystkie twierdzenia będą przytoczone bez dowodów.

32.1 Miary \(\sigma\)-skończone

Rozważać będziemy przestrzeń miarową \((A, \mathcal{A}, \mu)\). Przypomnijmy, że \(\mathcal{A}\) jest \(\sigma\)-ciałem podzbiorów \(A\) oraz \(\mu \colon \mathcal{A} \to [0, +\infty]\) jest funkcją przeliczalnie addytywną. Dokładniej, dla każdych parami rozłącznych \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) z \(\mathcal{A}\), \[\begin{equation*} \mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n). \end{equation*}\] Będziemy zakładać, że przestrzeń jest \(\sigma\)-skończona. Oznacza to, że istnieją zbiory \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) w \(\mathcal{A}\) takie, że \[\begin{equation*} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = A \end{equation*}\] oraz \(\mu(A_n) <\infty\) dla każdego \(n \in \mathbb{N}\).

Przykład 32.1 Rozważmy \((\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, \#)\), gdzie \(\#\) jest miarą liczącą, \[\begin{equation*} \# A = \mbox{liczba elementów w $A$}. \end{equation*}\] Dla \(A_n = \{n\}\) mamy \[\begin{equation*} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{n\} = \mathbb{N} \end{equation*}\] oraz \(\# A_n =1\). Zbiór liczb naturalnych z miarą liczącą jest zatem \(\sigma\)-skończony.

Przykład 32.2 Rozważmy przestrzeń \(\mathbb{R}, \mathcal{B}or(\mathbb{R}), \lambda_1)\). Rozważmy \(A_n = [-n, n]\). Wówczas \[\begin{equation*} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [-n,n] = \mathbb{R} \end{equation*}\] oraz \(\lambda_1([-n,n]) = 2n <\infty\). Prosta rzeczywista z miarą Lebesgue’a jest zatem \(\sigma\)-skończona.

Przykład 32.3 Rozważmy \((\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}}, \mu_\mathbb{Q})\), gdzie miara \(\mu_{\mathbb{Q}}\) jest zadana przez \[\begin{equation*} \mu_\mathbb{Q}(A) = \# A \cap \mathbb{Q} \end{equation*}\] liczbę liczb wymiernych w \(A\). Zauważmy, że dla każdego otwartego przedziału \((a,b)\), \[\begin{equation*} \mu_\mathbb{Q}(a,b) = \infty. \end{equation*}\] Jednak przestrzeń ta jest \(\sigma\)-skończona. Niech \(A_1 = \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas \(\mu_{\mathbb{Q}}(A_0)=0\). Ustawmy liczby wymierne w ciąg \(\mathbb{Q} = \{q_2, q_3, \ldots\}\) i połóżmy \(A_n = \{q_n\}\). Wtedy \(\mu_{\mathbb{Q}}(A_n) = 1\) dla \(n \geq 2\). Zbiory \(\{A_n\}_n\) są świadkami na to, że rozważana przestrzeń jest \(\sigma\)-skończona.

Przykład 32.4 Rozważmy modyfikację ostatniej przestrzeni \((\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}}, \mu_{\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}})\), gdzie miara \(\mu_{\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}\) jest zadana przez \[\begin{equation*} \mu_{ \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}(A) = \# A \cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \end{equation*}\] jest liczbą liczb niewymiernych w \(A\). Taka przestrzeń nie jest \(\sigma\)-skończona. Załóżmy nie wprost, że \[ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}, \] gdzie każdy \(A_n\) zawiera skończenie wiele liczb wymiernych. Wówczas \[\begin{equation*} \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}). \end{equation*}\] Skoro każdy ze zbiorów \(A_n \cap(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})\) jest skończony, to przeliczalna suma zbiorów po prawej stronie jest przeliczalna. Oznacza to, że \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) jest przeliczalny. Sprzeczność pokazuje, że rozważana przez nasz przestrzeń nie jest \(\sigma\)-skończona.

32.2 Miary produktowe

Rozważmy teraz dwie \(\sigma\)-skończone przestrzenie miarowe \((A, \mathcal{A}, \mu)\) oraz \((B, \mathcal{B}, \nu)\). Niech \(\Omega = A\times B\) i niech \[\begin{equation*} \mathcal{S} = \left\{ A \times B \: : \: A \in \mathcal{A}, \: B \in \mathcal{B} \right\}. \end{equation*}\] Wówczas \(\mathcal{S}\) jest zbiorem prostokątów o bokach w \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\). Rodzina ta jest zamknięta na przekroje \[\begin{equation*} (A \times B) \cap (C \times D) = (A\cap C) \times (B \cap D). \end{equation*}\]

Dopełnienie prostokąta jest sumą prostokątów.

Niech \(\mathcal{F}\) będzie najmniejszym \(\sigma\)-ciałem podzbiorów \(\Omega\) zawierającym \(\mathcal{S}\).

Twierdzenie 32.1 Załóżmy, że przestrzenie miarowe \((A, \mathcal{A}, \mu)\) oraz \((B, \mathcal{B}, \nu)\) są \(\sigma\)-skończone. Wówczas istnieje dokładnie jedna miary \(\eta\) na \((\Omega, \mathcal{F})\) taka, że \[\begin{equation*} \eta(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B). \end{equation*}\] Będziemy korzystać z oznaczenia \(\mu\otimes \nu = \eta\).

Przykład 32.5 Rozważmy dwie kopie liczb naturalnych wraz z miarami liczącymi. Dokładniej niech \((A, \mathcal{A}, \mu)= (B, \mathcal{B}, \nu) = (\mathbb{N}, 2^{\mathbb{N}}, \#)\), gdzie \(\#\) jest miarą liczącą. Wówczas \(\Omega = \mathbb{N}\times \mathbb{N}\) jest kratą liczb naturalnych. Jak wygląda \(\mu \otimes \nu\)? Dla każdych \(A, B \subseteq \mathbb{N}\), mamy \[\begin{equation*} \mu\otimes \nu(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B) = \# (A) \cdot \# (B) \end{equation*}\] Zauważmy, że \[\begin{equation*} \# (A) \cdot \# (B) = \# (A \times B). \end{equation*}\] W tym przypadku \(\mu\otimes \nu\) jest po prostu miarą liczącą na produkcie \(\mathbb{N}^2\).

Przykład 32.6 Niech \((A, \mathcal{A}, \mu) = (B, \mathcal{B}, \nu) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}or(\mathbb{R}), \lambda_1)\). Jak wygląda \(\lambda_1 \otimes \lambda1\) na \(\mathbb{R}^2\)? Dla dowolnych borelowskich \(A\), \(B\) \[\begin{equation*} \lambda_1\otimes \lambda_1(A \times B) = \lambda_1(A) \cdot \lambda_1(B). \end{equation*}\] Zauważmy, że \[\begin{equation*} \lambda_1 (A) \cdot \lambda_1 (B) = \lambda_2(A \times B), \end{equation*}\] gdzie \(\lambda_2\) jest dwuwymiarową miarą Lebesgue’a. Czyli \(\lambda_1\otimes \lambda_1 = \lambda_2\).

Przykład 32.7 Niech \((A, \mathcal{A}, \mu) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}or(\mathbb{R}), \lambda_1)\). i \((B, \mathcal{B}, \nu) = (\mathbb{Z}, 2^{\mathbb{Z}}, \#)\). Wówczas \(\Omega = \mathbb{R} \times \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}^2\) jest nieskończoną kolekcją poziomych prostych. Wówczas każdy prostokąt postaci $ A {k}$ jest kopią \(A\) na poziomie \(k\). May \[\begin{equation*} \mu \otimes \nu(A \times \{ k\}) = \lambda_1(A). \end{equation*}\] Jeżeli więc rozważymy okrąg \[\begin{equation*} C = \{ ( x, j) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Z} \: : \: x^2+j^2\leq 10 \} \end{equation*}\] to \[\begin{equation*} \mu \otimes \nu(C) = \sum_{j=-3}^3 \lambda_1( x \: : \: x^2 \leq 10-j^2 ) = 16+4\sqrt{6} +2 \sqrt{10} \end{equation*}\]

32.3 Całki względem miar produktowych

Twierdzenie 32.2 Jeżeli \(f\colon A \times B \to \mathbb{R}\) jest taka, że \(f \geq 0\) lub \(\int_{A\times B} f \mathrm{d}\mu\otimes \nu <\infty\), to \[\begin{equation*} \int_A \int_B f(x,y) \nu(\mathrm{d}y) \mu(\mathrm{d}x) = \int_B \int_A f(x,y) \mu(\mathrm{d}x) \nu(\mathrm{d}y) = \int_{A\times B} f \mathrm{d} \mu \otimes \nu. \end{equation*}\]