Lista 5: Zmienne losowe

Zadania na ćwiczenia: 2025-03-24

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru {1,2,3,4,5}. Niech \(X\) będzie sumą wylosowanych liczb - wyznacz jego rozkład oraz dystrybuantę.

   \[\begin{align*} \mu_X =& 0.1\delta_3+0.1\delta_4+0.2\delta_5+0.2\delta_6\\ &+0.2\delta_7+0.1\delta_8+0.1\delta_9\\ F_X(t) =& 0.1\mathbf{1}_{[3,4)}(t) +0.2\mathbf{1}_{[4,5)}(t)+0.4\mathbf{1}_{[5,6)}(t) + 0.6\mathbf{1}_{[6,7)}(t)\\ &+0.8\mathbf{1}_{[7,8)}(t) +0.9 \mathbf{1}_{[8,9)}(t) + \mathbf{1}_{[9, +\infty)}(t) \end{align*}\]

2. Losujemy jednostajnie punkt z okręgu o promieniu jeden. Niech \(X\) będzie odległością wylosowanego punktu od środka okręgu. Uzasadnij, że \(X\) jest zmienną losową. Znajdź jej dystrybuantę.

   Przyjmujemy \(\Omega = \{ (x,y) \: : \: x^2+y^2 <1\}\), \(\mathcal{F} = \mathcal{B}or(\Omega)\), \(\mathbb{P} = \pi^{-1}\lambda_1\). \[\begin{align*} X^{-1}[(-\infty,t]] &= \Omega\cap \{(x,y) \: : \: x^2+y^2<t^2\}\in \mathcal{F}\\ F_X(t) &= \mathbf{1}_{[0,1]}(t)t^2 + \mathbf{1}_{[ 1,\infty)}(t). \end{align*}\]

3. Niech \(F_1, F_2\) będą dystrybuantami (spełniają założenia Twierdzenia 6.3). Sprawdzić, czy następujące funkcje są jednowymiarowymi dystrybuantami (spełniają założenia Twierdzenia 6.3):
   1. \(F_1 F_2\);
   2. \(F_1 + F_2\);
   3. \(F_1 - F_2\);
   4. \(F_1 / F_2\);
   5. \(\max(F_1, F_2)\);
   6. \(\min(F_1, F_2)\).
      

      a,e,f.

4. Podaj przykład przestrzeni probabilistycznej \((\Omega, {\mathcal F}, {\mathbb P})\) i funkcji \(X: \Omega\to \mathbb{R}\), która nie jest zmienną losową.

   Niech \(\Omega=\{1,2\}\), \(\mathcal{F} = \{\emptyset, \Omega\}\), \(X(\omega)=\omega\).

5. Dystrybuanta zmiennej losowej \(X\) dana jest wzorem \[\begin{equation*} F_X(x) \; = \; (0.1 + x)\mathbf{1}_{[0,0.5)}(x) + (0.4 + x)\mathbf{1}_{[0.5,0.55)}(x) + \mathbf{1}_{[0.55,\infty)}(x) \; . \end{equation*}\] Niech \(\mu_X\) będzie rozkładem \(X\). Wyznacz
   1. \(\mu_X(\{ 1/2 \})\),
   2. \(\mu_X([0,1/2])\),
   3. \(\mu_X((0,0.55))\).

   a 0.3, b 0.9, c. 0.85

6. Zmienna losowa \(X\) ma rozkład zadany przez \[\begin{equation*} \mu_X(A) = \int_A c (1-x)^2 \mathbf{1}_{[0,1]}(x) \mathrm{d}x. \end{equation*}\] Znajdź wartość parametru \(c\).

   \(3\).

7. Losujemy jednostajnie punkt z przedziału \((0,1)\). Niech \(U\) będzie wylosowanym punktem. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej \(X = -\log(U)\).

   \(F_X(t)=1-e^{-t}\).

Zadania na ćwiczenia

8. Dana jest przestrzeń probabilistyczna \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) oraz funkcja \(X: \Omega \to \mathbb{R}\). Uzasadnij, że jeżeli \(X^{-1}(a,b)\in \mathcal{F}\) dla dowolnych \(a,b\in \mathbb{R}\), to \(X\) jest zmienną losową.

9. Dystrybuanta zmiennej losowej \(X\) dana jest wzorem: \[ F_X(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & \mbox{ dla } t<0\\ t^2 \ \ & \mbox{ dla } 0\leq t < 1/2\\ 1/4 & \mbox{ dla } 1/2 \leq t < 4 \\ 1 & \mbox{ dla }t\geq 4. \end{array} \right. \] Oblicz \(\mathbb{P}[X=5]\), \(\mathbb{P}[X=4]\), \(\mathbb{P}[1/3 < X \leq 5]\), \(\mathbb{P}[0<X<1]\).

10. Niech \(X_1,\ldots, X_n\) będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) i niech \(B_1,B_2,\ldots, B_n \in \mathcal{F}\) będzie rozbiciem \(\Omega\) (tzn. zbiory te są rozłączne i ich sumą jest \(\Omega\)). Niech \(Z(\omega) = X_i(\omega)\) dla \(\omega\in B_i\). Uzasadnij, że \(Z\) jest zmienną losową.

11. Punkt \(x\) nazywamy atomem rozkładu \(\mu\) na \(\mathbb{R}\), gdy \(\mu(\{x\}) > 0\).

    1. Pokaż, że rozkład prawdopodobieństwa \(\mu\) może mieć co najwyżej przeliczalną liczbę atomów.
    2. Czy zbiór atomów może mieć punkt skupienia?
    3. Czy zbiór atomów może być gęsty w \(\mathbb{R}\)?

12. Dane są dwie miary probabilistyczne \(\mu\) i \(\nu\) na \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\) takie, że dla dowolnej liczby \(t>0\) mamy \(\nu([-t,t]) = \mu([-t,t])\). Uzasadnić, że \(\mu(A) = \nu(A)\) dla dowolnego symetrycznego zbioru \(A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) (zbiór \(A\) nazywamy symetrycznym, jeżeli \(A = -A\)).

13. Zmienna losowa \(X\) ma rozkład zadany przez \[ \mu_X(A) = \int_A \frac{2}{\pi}\frac{1}{1+x^2} \mathbf{1}_{[0, +\infty)}(x) \mathrm{d}x. \] Udowodnij, że \[\begin{equation*} Y(\omega) = \left\{ \begin{array}{cc} 1/X(\omega), & X(\omega)>0 \\ 17, & X(\omega)\leq 0\end{array} \right. \end{equation*}\] ma ten sam rozkład, co \(X\).

14. (rozkład geometryczny) Wykonujemy doświadczenia Bernoulliego (z prawdopodobieństwem pojedynczego sukcesu \(p\)) aż do chwili otrzymania pierwszego sukcesu. Niech \(X\) oznacza liczbę wykonanych doświadczeń, \(Y\) – czas oczekiwania na pierwszy sukces, czyli liczbę porażek przed pierwszym sukcesem. Wyznaczyć rozkłady zmiennych losowych \(X\) i \(Y\), tj. wyznaczyć funkcje \(\mathbb{P}[X=k]\) oraz \(\mathbb{P}[Y=k]\).

15. (rozkład wykładniczy) Przypuśćmy, że doświadczenie opisane w poprzednim zadaniu wykonuje się \(n\) razy na sekundę, zaś prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(\lambda/n\), \(\lambda > 0\), a czas oczekiwania na pierwszy sukces, \(Y_n\), mierzy się w sekundach. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(Y_n\) i zbadać jej zachowanie gdy \(n \to \infty\).

Zadania dodatkowe

16. Mówimy, że zmienna losowa \(X\) jest niezdegenerowana, gdy \(\mathbb{P}[X = a] < 1\) dla każdego \(a\in \mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(b, c\) dla których istnieje niezdegenerowana zmienna losowa \(X\) taka, że \(X\) ma taki sam rozkład jak \(bX+c\). Scharakteryzuj rozkład \(X\) w terminach \(b\) i \(c\).