1 Wprowadzenie
Każdy wykład z rachunku prawdopodobieństwa zaczyna się ogólnym stwierdzeniem, że jest to dział matematyki zajmujący się badaniem zdarzeń losowych. Ważne jednak jest doprecyzowanie o jaką analizę zdarzeń losowych chodzi i jakiego rodzaju aparat matematyczny jest do tego potrzebny. Jeżeli ograniczymy się jedynie do badania prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń takich jak jedenaście osób trafiło “szóstkę” w Lotto. Znajomość samej wartości liczbowej, na dodatek bardzo małej i trudnej do wyobrażenia, niezbyt wiele użytecznych informacji i nie pozwoli udzielić odpowiedzi na wiele naturalnych pytań. Jak często dochodzi do takich zdarzeń? Jakie powinny być stawki za poszczególne zakłady aby Lotto było opłacalne dla Totalizatora Sportowego?
Okazuje się, że mimo iż nie mamy sposobu na przewidzenie wyniku zdarzenia czy eksperymentu losowego, to jesteśmy w stanie opisać pewne deterministyczne zależności między nimi. Zależności te pozwalają między innymi dobrze zaplanować cennik Lotto. Omówimy teraz pokrótce kilka konkretnych przykładów aby dokładniej zobrazować zależności o których będziemy w trakcie wykładu mówić.
1.1 Krzywa dzwonowa
Pierwszy przykład pochodzi z Tokio, gdzie w październiku 2024 roku odbył się Hakone Ekiden Yosenkai - półmaraton (bieg na 21.0975 km) kwalifikacyjny do wyścigu Hakone Ekiden (bieg sztafetowy). Oczywiście spodziewamy się, że znakomita większość zawodników uplasuje się w połowie stawki i kilka najszybszych lub najwolniejszych osób będzie odstawało odpowiednio na jej początku i końcu.
Okazuje się jednak, że dokładny rozkład biegaczy jest bardzo regularny.
Zaobserwowana krzywa to funkcja dzwonowa, która
jest równa
\[\begin{equation*}
\exp \left(-x^2/(2\sigma^2)\right)/\sqrt{2\pi\sigma^2}
\end{equation*}\]
dla pewnego parametru \(\sigma>0\).
W trakcie wykładu zobaczymy dokładnie skąd bierze się
zaobserwowany kształt. Poniżej przedstawiamy
wykres dla \(\sigma=1/2\).
1.2 Deska Galtona
Istnieje wiele innych przykładów, w których obserwujemy krzywą dzwonową. Aby zrozumieć jej pochodzenie warto przyjrzeć się najprostszym przykładom. Jednym z nich jest deska Galtona zaprezentowana poniżej. Kule spadają po kołkach za każdym razem odbijając się losowo w lewo bądź prawo. Poniżej widzimy histogram (znormalizowany wykres słupkowy) liczby kul, które opuściły deskę przez dane miejsce.
Numery na histogramie mówią ile razy kula odbiła się od kołka w prawo. Zauważmy, że po dłuższym czasie nasz histogram zaczyna przypominać krzywą dzwonową. Powyższe stanowi przykład Twierdzenia granicznego. Mimo, że nie jesteśmy w stanie przewidzieć wyniku pojedynczego eksperymentu (nie wiemy gdzie dokładnie wyląduje ustalona kula), to wiemy jak po uśrednieniu będzie zachowywał się cały system. W trakcie wykładu będziemy zajmować się opisem tego typu zjawisk.
1.3 Jeszcze jeden przykład
Ideą twierdzeń granicznych jest wyodrębnienie deterministycznego stwierdzenia o losowym układzie. Nie wszystkie twierdzenia graniczne muszą się wiązać z krzywą dzwonową. Losowe parkietaże, które teraz krótko omówimy, wiążą się z innym dobrze znanym kształtem.
Dla naturalnego \(n\) rozważmy szachownicę wymiarów \(2n\times 2n\) z której usunięto cztery rogi (równoramienne trójkąty prostokątne o ramieniu \(n-1\)). Diament dla \(n=4\) wygląda następująco.
Dla naturalnego \(n\) chcemy pokryć diament kostkami domina o wymiarach \(2\times 1\) oraz \(1\times 2\). Poniżej znajduje się skrypt generujący losowy parkietaż diamentu rzędu \(n\).
Widzimy, że dużych wartości \(n\) parkietaż wygląda bardzo regularnie. Rogi parkietażu są monochromatyczne, co oznacza, że północny i południowy róg są wyłożone kostkami poziomymi a wschodni i zachodni pionowymi. Widzimy też. że kolorowy fragment parkietażu (tam, gdzie widzimy zarówno kostki poziome jak i kostki pionowe) zbiega do okręgu.
Dokładne opisanie powyższego zjawiska wykracza poza ramy tego wykładu. Zainteresowanym polecamy przeanalizowanie algorytmu generującego losowe permutacje (przycisk Auto). Algorytm ten tłumaczy dlaczego rogi diamentu są monochromatyczne.