Skip to main content

Rachunek Prawdopodobieństwa 1R: Notatki do wykładu

Lista 16: powtórka przed egzaminem

  1. Niech \(X\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym \(\mathcal{U}[0,2]\). Znaleźć rozkłady zmiennych losowych \(Y = \min(X,X^2)\) i \(Z = \max(1,X)\).

  2. Niech \(X\) będzie zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym \(\mathcal{N}(0,1)\). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(Y = \min(|X|,|X|^2)\).

  3. Gracz \(J\) rzuca \(2n + 1\) wyważonymi kośćmi i usuwa te, na których wypadło \(6\). Gracz \(K\) wybiera potem liczbę pomiędzy \(1\) i \(6\), rzuca pozostałymi kośćmi i usuwa kości z wyrzuconą liczbą oczek taką, jak liczba wybrana przez niego. Ten proces jest powtarzany dopóty, dopóki nie zostaną usunięte wszystkie kości. Jaka jest wartość oczekiwana dla liczby kości usuniętych przez gracza \(J\)?

  4. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie takim, że \(\mathbb{E}[X_1] = 1\) oraz \(\mathbb{P}(X_1 = 1) < 1\). Pokazać, że \(\Pi_{i=1}^n X_i \stackrel{\textrm{ p.n.}}{\longrightarrow} 0\).

  5. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. W zależności od wartości parametru \(p > 0\) zbadać, kiedy z prawdopodobieństwem \(1\) zachodzi nieskończenie wiele zdarzeń \(A_n\), jeśli:

    1. \(X_1\) ma rozkład wykładniczy \(\mathcal{E}xp(\lambda)\) oraz \(A_n = \{ X_n > \log n^p \}\);
    2. \(X_1\) ma rozkład normalny \(\mathcal{N}(0,\sigma^2)\) oraz \(A_n = \{ X_n > \sqrt{\log n^p} \}\).

  6. Rozważmy grę hazardową, w której zaczynasz z pulą \(A\) i rzucasz (wyważoną) kością. Jeśli wypadnie \(k\) oczek, to mnożysz swoją pulę przez \(2(k - 1)/5\). (W szczególności, podwajasz stawkę, gdy wyrzucisz \(6\), a tracisz wszystko, gdy wyrzucisz \(1\).) Jaka jest wartość średnia i wariancja puli po \(n\) rzutach?

  7. Oczka na kości wypadają z rozkładem losowym określonym następująco: \[ \mathbb{P}[\{1 \}] = p_1, \mathbb{P}[\{2 \}] = p_2, \quad \ldots \quad \mathbb{P}[\{6 \}] = p_6, \] Niech \(S_n\) będzie sumą wyrzuconych oczek po \(n\) rzutach kośćmi. Znajdź warunek wystarczający i konieczny na \(\{p_j\}_{j=1}^6\), tak żeby dwie zmienne losowe \(S_n \bmod 2\) i \(S_n \bmod 3\) były niezależne od siebie dla wszystkich \(n\).

  8. Niech \(p_n\) będzie prawdopodobieństwem, że potrzeba dokładnie \(n\) rzutów wyważoną monetą aż do wypadnięcia po raz pierwszy dwóch orłów z rzędu i niech \(q_n = \sum_{k \geq n} p_k\). Znajdź zwartą postać dla \(p_n\) i \(q_n\) jako funkcji liczb Fibonacciego.

  9. Załóżmy, że na przestrzeni probabilistycznej \((\Omega, \mathscr{F}, P)\) istnieje symetryczna zmienna Bernoulliego \(\varepsilon\) (tzn. \(\varepsilon\) spełnia: \[ \mathbb{P}[\varepsilon = +1] = \mathbb{P}[\varepsilon = -1] = 1/2), \] oraz zmienna losowa \(X\), która jest niezależna od \(\varepsilon\). Pokaż, że \(\varepsilon X\) i \(\varepsilon\) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy \(X\) jest symetryczna (tzn. \(X \overset{\text{(d)}}{=} -X\)).

  10. Niech \(Z\) będzie zmienną wykładniczą z parametrem 1, tzn.: \[ \mathbb{P}(Z >t) = e^{-t}, \qquad t > 0 . \]

    1. Udowodnij, że: \[ Z \overset{\text{(d)}}{=} \sqrt{2Z} |N|, \] gdzie po prawej stronie \(N \sim \mathcal{N}(0,1)\) jest niezależna od \(Z\).

    2. Niech \(p \in \mathbb{N},\ p > 0\). Udowodnij, że: \[ Z \overset{\text{(d)}}{=} Z^{\frac{1}{2^p}} 2^{\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^p}} \left( |N_1| |N_2|^{\frac{1}{2}} \cdots |N_p|^{\frac{1}{2^{p-1}}} \right), \] gdzie po prawej stronie \(N_1, N_2, \ldots, N_p\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(\mathcal{N}(0,1)\).

    3. Niech \((N_p,\ p \in \mathbb{N})\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\mathcal{N}(0,1)\). Udowodnij, że: \[ \prod_{p=0}^{n} |N_p|^{\frac{1}{2^p}} \Rightarrow \frac{1}{2} Z. \]

  11. Niech \(U\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \([0,1]\), a \(\varepsilon\) niezależną zmienną Bernoulliego, tzn. \[ \mathbb{P}(\varepsilon = +1) = \mathbb{P}(\varepsilon = -1) = 1/2. \]

    1. Znajdź rozkład zmiennej \(X = \varepsilon / \sqrt{U}\).

    2. Niech \(X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie co \(X\). Udowodnij, że: \[ \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{\sqrt{n \log n}} \Rightarrow \mathcal{N}(0,1). \]