Lista 14: Powtórka przed kolokwium

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Pokazać, że jeśli \(\mathbb{V}ar[X] = \sigma^2 < \infty\), to \(\mathbb{P}[|X - \mathbb{E}[X]| > n\sigma] \leq n^{-2}\)

2. Niech \(X\), \(Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z dystrybuantą \(F\) . Udowodnić, że \(\mathbb{E}|X − Y | = 2\int_{-\infty}^{\infty} F(t)(1-F(t)) \: \mathrm{d}t\).

3. Znaleźć rozkład łączny \(Y_1 = \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{2}}, \, Y_2 = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}}\), jeśli:

1. \((X_1, X_2) \sim \mathcal{N} \left( 0, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \right)\),
2. \((X_1, X_2) \sim \mathcal{N} \left( 0, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \right)\).

2. Wykazać, że jeśli \(X > 0\) i \(\mathbb{E}[X] > 0\), to \[ \frac{1}{\mathbb{E}[X]} \leq \mathbb{E}\left[ \frac{1}{X} \right]. \]

3. Niech \(X, Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Wykazać, że \[ \mathbb{P}[X \in A, (X, Y) \in B] = \int_A \mathbb{P}((u, Y) \in B)\, \mu_X(\mathrm{d}u). \]

4. Wyznaczyć rozkład sumy trzech niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\mathcal{U}[0,1]\).

5. Niech \(U = \min(X, Y), \, V = \max(X, Y) - \min(X, Y)\), gdzie \(X, Y\) są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem \(\lambda\). Wykazać, że \(U\) i \(V\) są niezależne.

6. Wykazać, że ciąg \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej zmiennej losowej \(X\) wtedy i tylko wtedy, gdy \[ \forall \varepsilon > 0 \quad \lim_{n,m \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X_m| > \varepsilon) = 0 \]

7. (Twierdzenie Pratta) Udowodnij, że jeżli \(X_n, Y_n, Z_n, X, Y, Z\) są takimi zmiennymi losowymi, że \(X_n \to^\mathbb{P} X\), \(Y_n \to^\mathbb{P} Y\), \(Z_n \to^\mathbb{P} Z\) oraz \(X_n \leq Y_n \leq Z_n\) p.n. dla wszystkich \(n\), \(\mathbb{E}X_n \to \mathbb{E}X\), \(\mathbb{E}Z_n \to \mathbb{E}Z\), \(\mathbb{E}Z, \mathbb{E}X\) są skończone, to wtedy \(\mathbb{E}Y_n \to \mathbb{E}Y\) i \(\mathbb{E}Y\) jest skończona.

8. Udowodnić, że jeśli ciąg zmiennych losowych \((\sqrt{X_n})\) jest zbieżny w \(L^2\), to ciąg \((X_n)\) jest zbieżny w \(L^1\).

9. Niech \(X_n\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie takim, że \(\mathbb{E}|X_1| <\infty\). Udowodnić, że \[ \frac{1}{n} \max_{i \leq n} |X_i| \xrightarrow{P} 0. \]

10. Niech \((X_n)\) mają ten sam rozkład: \(\mathbb{P}(X_n = 1) = \mathbb{P}(X_n = -1) = \frac{1}{2}\). Udowodnić, że jeśli \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 < \infty\), to \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n X_n\) jest zbieżny p.n.

11. Niech \(\mathbb{P}(X_n = n) = \frac{1}{n^3} = \mathbb{P}(X_n = -n), \, \mathbb{P}(X_n = 0) = 1 - \frac{2}{n^3}\). Wykazać, że \(\sum_{n=1}^{\infty} X_n\) jest zbieżny p.n., chociaż \(\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{V}ar[ X_n] = \infty\).

12. Rozważmy niesymetryczne błądzenie losowe. Niech \(S_n = \sum_{j=1}^nX_j\), gdzie zmienne \(X_j\) są niezależne takie, że \(\mathbb{P}[X_j=1]=p\) i \(\mathbb{P}[X_j=-1]=1-p\) dla \(p\in (0,1)\). Pokaz, że dla \(p > \frac{1}{2}\), \(\mathbb{P}\left[ \lim S_n = \infty \right] = 1\), a dla \(p < \frac{1}{2}\) jest \(\mathbb{P}\left[ \lim S_n = -\infty \right] = 1\).

13. Niech \(\{ X_n \}_{n=1}^\infty\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Znaleźć \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n X_i} \; , \] jeżeli

    1. \(X_1\) ma rozkład jednostajny \(\mathcal{U}[0,1]\);
    2. \(X_1\) ma rozkład o gęstości postaci \(f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \: \mathbf{1}_{(0,1)}(x)\).

14. Niech \(f \colon [0,1] \to \mathbb{R}\) będzie funkcją ciągłą. Obliczyć granice: \[\begin{align*} \text{a)}\quad & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} \, dx_1 \dots dx_n; \\ \text{b)}\quad & \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \right) \, dx_1 \dots dx_n; \\ \text{c)}\quad & \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \right) \, dx_1 \dots dx_n. \end{align*}\]

15. Zmienne losowe \(X_1\) i \(X_2\) są niezależne i mają ten sam rozkład geometryczny \[ \mathbb{P}[X_j=k] = q^k p,\] gdzie \(k = 0, 1, 2, \ldots\). Określmy \(Z\) jako większy z \(X_1, X_2\) (\(Z = \max(X_1, X_2)\)). Znaleźć łączny rozkład \((X_1, Z)\) oraz rozkład \(Z\).

16. Niech \(X_1\) i \(X_2\) będą dwoma niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parametrami odpowiednio \(\lambda_1\) i \(\lambda_2\). Udowodnić, że warunkowy rozkład \(X_1\) pod warunkiem \(\{X_1 + X_2 =n\}\) jest dwumianowy z parametrami \(n\) i \(\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)\).

17. Niech \(X_1\) i \(X_2\) będą niezależne i mają jednakowy rozkład geometryczny \(\mathbb{P}[X_j=k] = q^k p\}\). Pokazać bez rachunków, że warunkowy rozkład \(X_1\) pod warunkiem \(\{ X_1 + X_2 =n \}\) jest jednostajny.

18. Niech \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z parametrami odpowiednio \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\).

1. Udowodnij, że \(\mathbb{P} \{ \xi_1 < \xi_2 \} = \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\).

2. Udowodnij, że \(\min_{1 \leq k \leq n} \xi_k\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\lambda = \sum_{k=1}^n \lambda_k\) i wywnioskuj z punktu (a), że \[ \mathbb{P} \left\{ \xi_j = \min_{1 \leq k \leq n} \xi_k \right\} = \frac{\lambda_j}{\sum_{k=1}^n \lambda_k}. \]

3. Zakładając, że \(\lambda_i \ne \lambda_j\) dla \(i \ne j\), znajdź gęstość zmiennej losowej \(\xi_1 + \cdots + \xi_n\) (dla przypadku \(n = 2\), zobacz Problem 2.8.26).

4. Udowodnij, że \(\mathbb{E} \min(\xi_1, \xi_2) = \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\) i znajdź \(\mathbb{E} \max(\xi_1, \xi_2)\).

5. Znajdź gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\xi_1 - \xi_2\).

6. Udowodnij, że zmienne losowe \(\min(\xi_1, \xi_2)\) oraz \(\xi_1 - \xi_2\) są niezależne.

19. Udowodnić, że jeśli \(X_n Y_n \xrightarrow{D} X\), \(Y_n \xrightarrow{D} 0\), a \(f\) jest funkcją różniczkowalną w zerze, to \[ X_n \left(f(Y_n) - f(0)\right) \xrightarrow{D} f'(0)X. \]

20. Niech \(X_1, X_2, \ldots\) będą niezależnymi, nieujemnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie takim, że \[\begin{equation*} \mathbb{P}[X_k>t] = 1 \wedge t^{-\alpha}, \qquad t >0, \end{equation*}\] dla pewnej \(\alpha >0\). Rozważmy \(M_n = \max \{ X_1, \ldots, X_n \}\). Pokaż, że ciąg zmiennych losowych \(n^{-1/\alpha}M_n\) jest zbieżny według rozkładu.