26 Wielowymiarowe funkcje charakterystyczne

Omówimy pokrótce funkcje charakterystyczne dla wektorów losowych. Szczęśliwie się składa, że są one definiowane przez iloczyny skalarne, co w praktyce sprowadza problem do jednego wymiaru. Rozważać będziemy \(d\)-wymiarowy wektor losowy \(\vec{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_d)^T\). Dla \(\vec{t} = (t_1, t_2, \ldots, t_d) \in \mathbb{R}^d\) iloczyn skalarny \[\begin{equation*} \left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle = \sum_{k=1}^d t_k X_k \end{equation*}\] jest dobrze określoną zmienną losową.

Definicja 26.1 Funkcją charakterystyczną \(d\)-wymiarowego wektora losowego \(\vec{X}\) nazywamy \(\varphi_{\vec{X}} \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}\) zadaną przez \[\begin{align*} \varphi_{\vec{X}} \left( \vec{t} \right) & = \mathbb{E} \left[ \exp\left\{ i \left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle \right\} \right] \\ & = \mathbb{E} \left[ \cos\left(\left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle \right) \right] + i\mathbb{E} \left[ \sin\left(\left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle \right) \right] \end{align*}\] dla \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\).

Przykład 26.1 Rozważmy \(\vec{X} = (X_1, \ldots, X_d)^T\) o \(d\)-wymiarowym standardowym rozkładzie normalnym \(\mathcal{N}(0, I)\). Wówczas zmienne \(X_1, \ldots, X_d\) są niezależne i mają jednowymiarowy rozkład normalny \(\mathcal{N}(0,1)\). Stąd \[\begin{align*} \varphi_{\vec{X}} \left(\vec{t} \right) &= \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ \sum_{j=1}^d it_jX_j \right\} \right] \\ &= \mathbb{E} \left[ \prod_{j=1}^d\exp \left\{ it_jX_j \right\} \right] \\ & =\prod_{j=1}^d \varphi_{X_j}(t_j) = e^{-\left\|\vec{t} \right\|/2} \end{align*}\] Niech teraz \(A\) będzie macierzą o wymiarach \(m \times d\) i niech \(\vec{m} \in \mathbb{R}^m\). Wiemy, że \(\vec{Y} = A\vec{X}+\vec{m}\) ma \(m\)-wymiarowy rozkład normalny \(\mathcal{N}\left(\vec{m}, \Sigma \right)\), gdzie \(\Sigma = AA^T\) jest macierzą kowariancji wektora \(\vec{Y}\). Znajdziemy teraz funkcję charakterystyczną wektora \(\vec{Y}\). Dla \(\vec{s} \in \mathbb{R}^m\) mamy \[\begin{align*} \varphi_{\vec{Y}}\left(\vec{s} \right) & = \mathbb{E} \left[ \exp\left\{ i \left\langle \vec{s}, A\vec{X} + \vec{m}\right\rangle \right\} \right] \\ & = \exp\left\{ i \left\langle \vec{s},\vec{m}\right\rangle \right\} \mathbb{E} \left[ \exp\left\{ i \left\langle A^T\vec{s}, \vec{X}\right\rangle \right\} \right] \\ & = \exp\left\{ i \left\langle \vec{s},\vec{m}\right\rangle \right\} \varphi_{\vec{X}} \left(A^T\vec{s} \right) \\ & = \exp\left\{ i \left\langle \vec{s},\vec{m}\right\rangle - \left\|A^T\vec{s} \right\|/2 \right\}\\ & = \exp\left\{ i \left\langle \vec{s},\vec{m}\right\rangle - \left\langle \Sigma\vec{s} , \vec{s}\right\rangle/2 \right\} \end{align*}\]

Dla wielowymiarowych funkcji charakterystycznych zachodzą odpowiedniki twierdzeń o jednoznaczności i ciągłości.

Twierdzenie 26.1 (o jednoznaczności w wielu wymiarach) Jeżeli rozkłady prawdopodobieństw \(\mu\) i \(\nu\) na \(\mathbb{R}^d\) mają równe funkcje charakterystyczne \[ \varphi_\mu\left(\vec{t}\right) = \varphi_\nu\left(\vec{t}\right) \] dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\), to \(\mu =\nu\).

Twierdzenie 26.2 (Lévy'ego-Craméra w wielu wymiarach) Niech \(\{\mu_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) będą rozkładami prawdopodobieństwa na \(\mathbb{R}^d\). Wówczas

1. jeżeli \(\mu_n \Rightarrow \mu\), to dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\), \(\varphi_{\mu_n}\left(\vec{t}\right) \to \varphi_{\mu}\left(\vec{t}\right)\);
2. jeżeli \(\varphi_{\mu_n}\left(\vec{t} \right)\to\varphi\left(\vec{t}\right)\) dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\), dla pewnej funkcji \(\varphi\) ciągłej w punkcie \(\vec{0}=(0,0,\ldots, 0)\), to \(\varphi\) jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu \(\mu\) oraz \(\mu_n\Rightarrow \mu\).

Dowody obu twierdzeń różnią się od odpowiedników jednowymiarowych w drobnych szczegółach poza którymi dowody pozostają bez zmian.

Twierdzenie 26.3 (Cramér–Wold) Niech \(\left\{ \vec{X}_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(\vec{X}\) będą \(d\)-wymiarowymi wektorami losowymi. Wówczas \(\vec{X}_n \Rightarrow \vec{X}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \[\begin{equation} \left\langle \vec{t}, \vec{X}_n \right\rangle \Rightarrow \left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle \tag{26.1} \end{equation}\] dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\).

Harald Cramér (1893-1985)

Herman Wold (1908-1992)

Proof. Załóżmy, że \(\vec{X}_n \Rightarrow \vec{X}\). Dla ustalonego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\) funkcja \(g\left(\vec{x}\right) = \left\langle \vec{t}, \vec{x}\right\rangle\) jest ciągła. Z twierdzenia o odwzorowaniu ciągłym \[\begin{equation*} \left\langle \vec{t}, \vec{X}_n \right\rangle = g\left( \vec{X}_n\right) \Rightarrow g\left(\vec{X}\right)= \left\langle \vec{t}, \vec{X} \right\rangle. \end{equation*}\] Załóżmy teraz, że (26.1) zachodzi dla każdego \(\vec{t} \in \mathbb{R}^d\). Mamy \[\begin{equation*} \varphi_{\vec{X}_n}\left(\vec{t} \right) = \varphi_{\langle \vec{t}, \vec{X}_n\rangle }(1) \to \varphi_{\langle \vec{t}, \vec{X}\rangle }(1) = \varphi_{\vec{X}}\left(\vec{t} \right). \end{equation*}\] Z wielowymiarowego twierdzenia o ciągłości 26.2, \(\vec{X}_n \Rightarrow \vec{X}\).

□