Lista 17: powtórka przed egzaminem powtórkowym
- Pokaż, że jeśli \(F(x)=\mathbb{P}(X\le x)\) jest ciągła, to \(Y=F(X)\) ma rozkład jednostajny na \((0,1)\), tj. dla \(y\in[0,1]\) mamy \(\mathbb{P}(Y\le y)=y\).
2.Zmienna losowa \(X\) ma rozkład zadany przez równości \[ \mathbb{P}(X = k) = \frac{2k}{n(n+1)}, \quad k = 1,2,\ldots,n. \] Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej \(Y = 2X + 5\).
Dany jest ciąg \((A_n)_{n \geq 1}\) niezależnych zdarzeń,
\(p_n = \mathbb{P}(A_n)\). Udowodnić, że \[ \frac{1_{A_1} + 1_{A_2} + \cdots + 1_{A_n}}{n} - \frac{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}{n} \to 0 \] według prawdopodobieństwa.Rzucamy nieskończoną liczbą monet przy czym orzeł wypada na \(n\)tej ponecie z prawdopodobieństwem \(p_n\), gdzie \[ p_n = \left\{ \begin{array}{cc} 1/2 & \mbox{$n$ jest podzielne przez $3$} \\ 1/3 & \mbox{$n$ daje resztę jeden przy dzieleniu przez $3$} \\ 0 & \mbox{$n$ daje resztę dwa przy dzieleniu przez $3$} \end{array} \right. \] Niech \(S_n\) będzie liczbą orłów otrzymanych w pierwszych \(n\) rzutach. Znajdź granicę \(S_n/n\).
Zmiennie \(X_1, X_2, \ldots\) są niezależne. Wykazać, że
\[ \mathbb{P}\!\left(\limsup_{n\to\infty} X_n \le 1\right)\in\{0,1\}. \]
Dany jest ciąg \((X_n)_{n\ge 1}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\mathbb P(X_n=0)=\mathbb P(X_n=1)=\tfrac12\). Udowodnić, że szereg \[ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} X_n \] jest zbieżny p.n. i wyznaczyć jego rozkład.
Ciąg \((X_n)_{n\ge1}\) zmiennych losowych zbiega według prawdopodobieństwa do zmiennej stałej równej \(\pi\). Dowieść, że ciąg \((\sin X_n)_{n\ge1}\) zbiega według prawdopodobieństwa do \(0\).
Zmienne losowe \(X_1, X_2\) są niezależne i spełniają warunki \(\mathbb{E}X_1=\mathbb{E}X_2=1\), \(\mathbb{E}X_1^{2}=\mathbb{E}X_2^{2}=2\). Wykazać, że dla dowolnego \(t>0\) zachodzi nierówność \[ \mathbb{P}\!\left(|X_1+X_2|\ge t\right)\le \frac{6}{t^{2}}. \]
Wektor losowy \((X,Y)\) ma rozkład jednostajny na kole \[ \{(x,y):\ x^2+y^2\le 1\}. \]
Czy zmienne \((X,Y)\) są niezależne?
Dowieść, że zmienne \(X\) oraz \((X+Y)/\sqrt{2}\) mają ten sam rozkład.
Obliczyć macierz kowariancji zmiennej \((X,Y)\) oraz kowariancję zmiennych \(X+2Y\) oraz \(X-Y\).
- Do sklepu meblowego przywieziono 150 biurek I rodzaju oraz 75 biurek II rodzaju.
Wiadomo, że biurka I rodzaju cieszą się dwukrotnie większym powodzeniem (tzn. prawdopodobieństwo tego, że klient kupujący biurko zdecyduje się na biurko I rodzaju, wynosi \(\tfrac{2}{3}\)). Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że któryś z pierwszych 200 klientów kupujących biurka nie dostanie takiego modelu, jaki chce?