Lista 3: Prawdopodobieństwo warunkowe

Zadania na ćwiczenia: 2025-03-10

Lista zadań w formacie pdf

Zadania do samodzielnego rozwiązania

W urnie znajduje się $20$ kul białych i $5$ czarnych. Losujemy po jednej kuli aż do momentu, gdy wylosujemy czarną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykonamy $k$ losowań, jeżeli
1. losujemy bez zwracania
2. losujemy ze zwracaniem?
  
  bez zwracania: \[ \prod_{j=0}^{k-2} \frac{20-j}{25-j} \cdot \frac{5}{25-k+1} \] ze zwracaniem: $(4/5)^{k-1}/5$
Dwoje graczy, Maciek i Dawid, dostało po $13$ kart z $52$. Maciek zobaczył przypadkowo u Dawida
1. asa pik,
2. jakiegoś asa czarnego koloru,
3. jakiegoś asa. Obliczyć prawdopodobieństwo, że Maciek nie ma asa.
  
  a,b,c ${48 \choose 13}/{51 \choose 13}$
Trzech strzelców oddało niezależnie po jednym strzale do tego samego celu. Prawdopodobieństwa trafień wynoszą odpowiednio $p_1$, $p_2$, $p_3$. Wyznacz prawdopodobieństwo, że pierszy strzelec trafił, jeżeli cel został trafiony
1. dokładnie jednym pociskiem
2. dokładnie dwoma pociskami;
3. trzema pociskami.
  
  \[\begin{align*} a & \frac{p_1(1-p_2)(1-p_3)}{ p_1(1-p_2)(1-p_3) + p_2(1-p_1)(1-p_3)+p_3(1-p_1)(1-p_2)}\\ b & \frac{p_1(1-p_2)p_3+(1-p_1)p_2p_3}{p_1p_2(1-p_3)+p_1(1-p_2)p_3 +(1-p_1)p_2p_3} \\ c& 1 \end{align*}\]
Podaj przykłady zdarzeń takich, że
1. $\mathbb{P}[A|B] < \mathbb{P}[A]$,
2. $\mathbb{P}[A|B] = \mathbb{P}[A]$
3. $\mathbb{P}[A|B] > \mathbb{P}[A]$.
  
  Rozważmy $\mathbb{P}[A \cap B]=\alpha$, $\mathbb{P}[B \cap A^c]=\beta$, $\mathbb{P}[A\setminus B]=\gamma$. Szukamy takiego doboru liczb $\alpha, \beta \gamma$ takich, że $\alpha+\beta$, $\alpha+\gamma \leq 1$ oraz $\alpha /(\alpha+\beta)$ było mniejsz/większe/równe $\alpha+\gamma$.

Zadania na ćwiczenia

W populacji jest $15\%$ dyslektyków. Jeżeli w teście diagnostycznym uczeń popełni $6$ lub więcej błędów, to zostaje uznany za dyslektyka. Każdy dyslektyk na pewno popełni co najmniej $6$ błędów. Również nie-dyslektyk może popełnić co najmniej $6$ błędów i dzieje się to z prawdopodobieństwem $0,1$. Jasiu popełnił $6$ błędów. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest dyslektykiem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejnym teście też popełni co najmniej $6$ błędów?
Dawid i Maciek grają w pokera. Maciek ma silną rękę i zaczął od $5$ dolarów. Prawdopodobieństwo, że Dawid ma silniejsze karty wynosi $0,1$. Gdyby Dawid miał mocniejsze/ słabsze karty podbiłby stawkę z prawdopodobieństwem $0,9 / 0,1$. Dawid podbił stawkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma lepsze karty?
W pewnej fabryce telewizorów każdy z aparatów może być wadliwy z prawdopodobieństwem $p$. W fabryce są trzy stanowiska kontroli i wyprodukowany telewizor trafia na każde ze stanowisk z jednakowym prawdopodobieństwem. $i$-te stanowisko wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem $p_i$ ($i = 1, 2, 3$). Telewizory nie odrzucone w fabryce trafiają do hurtowni i tam poddawane są dodatkowej kontroli, która wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem $p_0$.
1. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dany nowowyprodukowany telewizor znajdzie się w sprzedaży (tzn. przejdzie przez obie kontrole).
2. Przypuśćmy, że telewizor jest już w sklepie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest on wadliwy?
Mamy dwie urny i $50$ kul. Połowa z kul jest biała, a połowa czarna. Jak rozłożyć kule do urn, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana kula z losowej urny jest biała (najpierw losujemy urnę, a potem z wybranej urny losujemy kulę)?
Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kostkami, na których nie wypadły “jedynki”. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na wszystkich trzech kostkach będą “jedynki”.
Przypuśćmy, że $1/20$ wszystkich kości do gry jest sfałszowana i zawsze wypada na nich szóstka. Wybieramy losowo trzy kostki i rzucamy nimi. Oblicz
1. prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 18 oczek;
2. prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna kostka była sfałszowana, jeżeli wyrzuciliśmy 18 oczek;
Kierowcy dzielą się na ostrożnych (jest ich $ 95 % $ i taki kierowca powoduje w ciągu roku wypadek z prawdopodobieństwem $ 0.01 $) i piratów (jest ich $ 5 % $ i taki kierowca powoduje w ciągu roku wypadek z prawdopodobieństwem $ 0.5 $). Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w pierwszym i drugim roku. Obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że spowoduje wypadek w trzecim roku.\
W zabawę w ‘głuchy telefon’ gra $n$ osób: $L_1, \ldots, L_n$. Pierwsza osoba $L_1$ otrzymuje informację w postaci ‘tak’ lub ‘nie’ i przekazuje ją $L_2$. Osoba $L_2$ przekazują ją dalej, z prawdopodobieństwem $p$ taką samą, a z prawdopodobieństwem $1-p$ przeciwną, itd. Każdy uczestnik przekazuje kolejnemu informację, którą uzyskał w prawdopodobieństwem $p$ i przeciwną z prawdopodobieństwem $1-p$. Oblicz prawdopodobieństwo $q_n$, że osoba $L_n$ otrzyma prawidłową informację. Oblicz $\lim_n q_n$.

Zadania dodatkowe

Na rodzinie wszystkich podzbiorów $\mathbb{N}$ określamy miarę probabilistyczną $\mathbb{P}_n$ wzorem \[ \mathbb{P}_n(A) = \frac{|\{m:\; 1\le m\le n, m\in A \}|}{n}. \] Mówimy, że zbiór $A$ ma gęstość \[ D(A) = \lim_n \mathbb{P}_n(A) \] jeżeli istnieje powyższa granica. Niech $\mathcal D$ oznacza rodzinę zbiorów posiadających gęstość.
1. Pokaż, że $D$ jest skończenie addytywna na $\mathcal D$, ale nie jest przeliczalnie addytywna.
2. Czy $\mathcal D$ jest $\sigma$-ciałem?
3. Wykaż, że jeżeli $x\in [0,1]$, to istnieje zbiór $A$ taki, że $D(A) = x$.
Niech $\Omega$ będzie przestrzenią przeliczalnych ciągów 0-1, tj. $\Omega = \{0,1\}^\mathbb{N}$. Dla $\omega\in \Omega$ oznaczmy przez $\omega_n$ wartość $n$-tej składowej. Dla ustalonego ciągu $u=(u_1,\ldots,u_n)\in \{0,1\}^n$ niech \[C_u =\{\omega:\; \omega_i = u_i; i=1,\ldots,n\}. \] Zbiór $C_u$ nazywamy cylindrem rzędu $n$. Każdemu takiemu zbiorowi przypisujemy miarę probabilistyczną~$\mathbb{P}$ równą $2^{-n}$. Oznaczmy przez $\mathcal F_0$ ciało składające się ze zbioru pustego oraz skończonych sum rozłącznych cylindrów. W naturalny sposób definiujemy $\mathbb{P}$ na $\mathcal F_0$.
1. Pokaż, że miara $\mathbb P$ jest przeliczalnie addytywna na $\mathcal F_0$.
2. Utożsamiając $\Omega$ z przedziałem (0,1] porównaj miarę $\mathbb P$ z miarą Lebesgue’a.

Lista 2: Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa

Lista 4: Niezależność i lemat Borela-Cantellego