Sylabus
Dane dotyczące przedmiotu
-
Nazwa przedmiotu: Rachunek Prawdopodobieństwa 1R
-
Jednostka oferująca przedmiot: Instytut Matematyczny
- Założenia: Analiza i topologia R (28-MT-S-oAnTopR), (Kombinatoryka 28-MT-S-oKomb)
-
Strona www: https://sites.google.com/site/piotrdyszewski/teaching/RPR1
-
Forma zajęć: wykład + ćwiczenia
- Punkty ECTS: 7
- Sprawdziany pisemne: 7.04 i 9.06
Skrócony plan wykładu
W trakcie wykładu poruszymy następujące zagadnienia:
- A) Przestrzeń probabilistyczna: aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa, miara probabilistyczna, własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń, lemat Borela-Cantellego;
- B) elementy losowe: zmienne losowe, wektory losowe, niezależne zmienne losowe;
- C) rozkłady prawdopodobieństwa: rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanty, rozkłady dyskretne i absolutnie ciągłe;
- D) parametry rozkładów: wartość oczekiwana, wariancja, kowariancja, funkcje charakterystyczne;
- E) twierdzenia graniczne: zbieżność zmiennych losowych, prawa wielkich liczb, prawo 0-1 Kołmogorowa mocne i słabe prawo wielkich liczb, twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a, centralne twierdzenie graniczne.
Podstawowa literatura do wykładu:
- Durrett, R. (2019). Probability: theory and examples (Vol. 49). Cambridge university press.
- Billingsley, P. (2017). Probability and measure. John Wiley & Sons.
- Jakubowski, J., & Sztencel, R. (2001). Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Script.
Szczegółowy plan wykładu
Wstępny plan tematów poruszanych na poszczególnych wykładach:
- Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa
- Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń
- Lemat Borela-Cantellego
- Zmienne losowe
- Rozkłady zmiennych losowych
- Wektory losowe, niezależność zmiennych losowych
- Parametry rozkładów
- Nierówności związane z momentami, słabe prawo wielkich liczb
- Zbieżność zmiennych losowych, prawo \(0-1\) Kołmogorowa
- Mocne prawo wielkich liczb
- Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a
- Zbieżność według rozkładu
- Funkcje charakterystyczne
- Centralne twierdzenie graniczne
- Zastosowania CTG, rozkłady stabilne
Efekty kształcenia
Po wykładzie student:
- Wymienia i definiuje podstawowe obiekty teorii prawdopodobieństwa (A, B, C, D );
- Podaje związki między podstawowymi obiektami teorii prawdopodobieństwa (A, B, C, D );
- Wykorzystuje narzędzia teorii prawdopodobieństwa do opisu zmiennych losowych w terminach ich rozkładu i ich parametrów (B, C, D);
- Formułuje twierdzenia graniczne (D);
- Bada zmienne losowe pod kątem zależności (A, B);
- Analizuje ciąg zmiennych losowych pod kątem różnych rodzajów zbieżności (B, E);
- Stosuje twierdzenia graniczne do analizy ciągów zmiennych losowych (B, E);
- Stosuje nierówności i lemat Borela-Cantelliego w analizie ciągów zmiennych losowych (A, B, E);
- Stosuje metodę funkcji charakterystycznej do dowodzenia twierdzeń granicznych (D, E).
Sposób weryfikacji efektów kształcenia
Na zaliczenie składać się będą:
- Aktywność na ćwiczeniach;
- Dwa sprawdziany pisemne (7.04 i 9.06).
Metody i kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń na sprawdzianów pisemnych. Aktywności w czasie zajęć podnosi ocenę z ćwiczeń o \(1\) lub \(0.5\). Ocena z egzaminu wystawiona jest na podstawie egzaminu pisemnego.