Lista 8: wketory losowe

Zadania na ćwiczenia: 2025-04-14

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Niech \(\vec{X}=(X_1, X_2)\) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o standardowym rozkładzie normalnym. Znajdź rozkłady brzegowe.

Oba rozkłady brzegowe to standardowe rozkłady normalne.

2. Niech \(\vec{X}=(X,Y)\) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o gęstości \[ f(x, y) = \begin{cases} 4x^2y + 2y^5 & 0 \leq x, y \leq 1, \\ 0 & \mbox{w przeciwnym razie} \end{cases} \]

   1. Sprawdź, że \(f\) jest rzeczywiście gęstością.
   2. Oblicz \(\mathbb{P}[1/2 \leq X \leq 3/4, 1/4 \leq Y \leq 1/2]\).
   3. Znajdź rozkłady brzegowe \(X\) i \(Y\). Czy są one absolutnie ciągłe?
      Jeżeli tak, to oblicz ich gęstości.

1. \(\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) = 1\)
2. \(\frac{595}{16384}\)
3. \(F_X(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ \frac{2 t^3 + t}{3} & 0 \le t \le 1\\ 1 & t > 1 \end{cases}\) \(f_X(t) = (2 t^2 + 1/3) \mathbf{1}_{[0,1]}(t)\) \(F_Y (t) = \begin{cases} 0 & t<0 \\ \frac{2t^2 + t^6}{3} & t \in [0,1] \\ 1 & t > 1 \end{cases}\) \(f_Y(t) = (4/3 t + 2 t^5) \mathbf{1}_{[0,1]} (t)\)

3. Niech \((X,Y)\) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o gęstości \[ f(x, y) = \begin{cases} Cye^{-xy} & 0 \leq x, y \leq 1, \\ 0 & \text{w przeciwnym razie} \end{cases} \]

   1. Oblicz wartość stałej \(C\).
   2. Oblicz \(\mathbb{P}[1/2 \leq X \leq 3/4, 1/4 \leq Y \leq 1/2]\).
   3. Znajdź rozkłady brzegowe \(X\) i \(Y\). Czy są one absolutnie ciągłe? Jeżeli tak, to oblicz ich gęstości.

1. \(C = e\)
2. \(e (2(e^{-3/8} - e^{-1/4}) + 4 (e^{-3/16} - e^{-1/8}))\)
3. \(F_X (t) = \begin{cases} 0 & t<0 \\ e(1+ e^{-t}/t - 1/t) & t \in [0,1] \\ 1 & t > 1 \end{cases}\) \(f_X(t) = e(e^{-t}/t - e^{-t}/t^2 + 1/t^2)\) \(F_Y (t) = \begin{cases} 0 & t<0 \\ e((e^{-t} - 1) + t)& t \in [0,1] \\ 1 & t > 1 \end{cases}\) \(f_Y(t) = e(-e^{-t} + 1)\)

4. Udowodnij, że wektor losowy \(\vec{X}=(X_1, X_2)\) ma rozkład duskretny wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne losowe \(X_1\) i \(X_2\) mają rozkłady dyskretne.

Załóżmy, że \(\vec{X}\) ma rozkład dyskretny. Wówczas zbiór istnieje przeliczalny zbiór \(S\subseteq \mathbb{R}^2\) taki, że \[\begin{equation*} \mathbb{P}\left[\vec{X}\in S\right]=1. \end{equation*}\] Pokażemy jedynie, że \(X_1\) ma rozkład dyskretny. Dyskretność rozkładu \(X_2\) będzie wynikała z analogicznego argumentu. Rozważmy \(S_1\) będący rzutem \(S\) na pierwszą oś, tj. \[\begin{equation*} S_1 = \{ x \in \mathbb{R} \: : \: \exists y \in \mathbb{R}, \: (x,y) \in S\} \subseteq \mathbb{R}. \end{equation*}\] Wówczas \(|S_1|\leq |S|\). W szczególności \(S_1\) jest zbiorem przeliczalnym. Mamy \[\begin{equation*} \left\{ \vec{X} \in S \right\} \subseteq \{X_1 \in S_1\}. \end{equation*}\] Rzeczywiście, niech \(\omega \in \{\vec{X}\in S\}\). Wówczas \(\vec{X}(\omega) \in S\). Mamy \(\vec{X}(\omega) = (X_1(\omega), X_2(\omega))\). Innymi słowy dla \(y =X_2(\omega)\) mamy \((X_1(\omega), y) \in S\). Oznacza to, że \(X_1(\omega) \in S_1\), czyli \(\omega \in \{ X_1\in S\}\). To dowodzi postulowanej inkluzji. Z mnotoniczności prawdopodobieństwa \[\begin{equation*} 1=\mathbb{P}\left[\vec{X}\in S \right] \leq \mathbb{P}[X_1 \in S_1]. \end{equation*}\] Co kończy dowód jednej implikacji. Załóżmy teraz, że rozkłady \(X_1\) i \(X_2\) są dyskretne. Istnieją zatem przeliczalne \(S_1\), \(S_2 \subseteq \mathbb{R}\) takie, że \[\begin{equation*} \mathbb{P}\left[X_1\in S_1\right]=\mathbb{P}[X_2\in S_2]=1. \end{equation*}\] Rozważmy zbiór \(S = S_1 \times S_2 \subseteq \mathbb{R}^2\). Wówczas \(S\) jest zbiorem przeliczalnym. Mamy \[\begin{equation*} \left\{ \vec{X} \in S \right\} = \{(X_1, X_2) \in S_1\times S_2\} = \bigcup_{x \in S_1} \{X_1 = x, \: X_2\in S_2 \}. \end{equation*}\] Skoro powyższa suma jest przeliczalna a zbiory rozłaczne \[\begin{equation*} \mathbb{P}\left[\vec{X} \in S \right] = \sum_{x \in S_1} \mathbb{P}[X_1 =x, \: X_2 \in S_2]. \end{equation*}\] Zauważmy, że \(\mathbb{P}[X_1=x, \: X_2 \in S_2] = \mathbb{P}[X_1=x]\), ponieważ \[\begin{multline*} 0 \leq \mathbb{P}[X_1 =x]-\mathbb{P}[X_1=x,\: X_2 \in S_2] \\= \mathbb{P}[X_1=x, \: X_2 \notin S_2] \leq \mathbb{P}[X_2 \notin S_2]=0. \end{multline*}\] Mamy zatem \[\begin{equation*} \mathbb{P}\left[\vec{X} \in S \right] = \sum_{x \in S_1} \mathbb{P}[X_1 =x] = \mathbb{P}[X_1\in S_1] =1. \end{equation*}\]

Zadania na ćwiczenia

5. Niech \((X,Y)\) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o rozkładzie zadanym gęstością \[ f(x, y) = C(x+y) \] dla \(0 \leq y \leq x \leq 1\), i \(f(x, y) = 0\) poza tym zbiorem. Znajdź wartość \(C\). Znajdź rozkłady brzegowe.

6. Zmienna losowa \((X,Y)\) ma rozkład z gęstością \[ g(x, y) = C \cdot xy \cdot \mathbf{1}_{[0,1]^2}(x, y) \]

   1. Wyznaczyć \(C\).
   2. Obliczyć \(\mathbb{P}(X + Y \leq 1)\).
   3. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(X/Y\).

7. Rzucamy trzy razy kostką. Niech \(X_1\) będzie liczbą wyrzuconych jedynek. Niech \(X_2\) będzie liczbą wyrzuconych dwójek.

   1. Znajdź rozkład wektora losowego \(\vec{X}=(X_1, X_2)\).
   2. Znajdź \(\mathbb{P}[X_1=1, \: X_2=2 \: | \: X_1+X_2=3]\).

8. Losujemy liczbę \(\omega\) z odcinka \([0,2\pi]\) w sposób jednostajny. Niech \(X_1(\omega)=\cos(\omega)\), \(X_2(\omega) = \sin(\omega)\).

   1. Znajdź rozkład zmiennej \(X_1\).
   2. Niech \(\vec{X} = (X_1, X_2)\). Znajdź \(\mathbb{P}\left[\vec{X} \in [1/\sqrt{2},1]\times [-2,3]\right]\).

9. Losujemy punkt. znajdz dystrybuante dwiwymiarowa i gestosc Losujemy punkt z trójkąta równobocznego \(ABC\). niech \(X_1\) będzie odległością wylosowanego punktu od boku \(AB\), a \(X_2\) odległością wylosowanego punktu od boku \(CB\).

   1. Znajdź \(\mathbb{P}[X_1\leq t]\) dla \(t \in [0. \sqrt{3}/2]\).
   2. Znajdź \(\mathbb{P} [X_2 \leq s \: | \: X_1 \leq t]\) dla \(s,t \in [0, \sqrt{3}/2]\).
   3. Znajdź dystrybuantę wektora losowego \(\vec{X} =(X_1, X_2)\).

10. Załóżmy, że wektor losowy \(\vec{X}=(X_1, X_2)\) ma dwuwymiarowy standardowy rozkład normalny. Rozważmy zmienne losowe \(Y_1 = ax_1+bX_2\) oraz \(Y_2=-X_1/a+X_2/b\) dla \(a, b>0\).

    1. Znajdź rozkład wektora losowego \(\vec{Y} = (Y_1, Y_2)\).
    2. Znajdź rozkład zmiennej losowej \(Y_1\).

11. Niech \(X = (X_1, X_2)\) będzie wektorem z dwuwymiarowym rozkładem normalnym o parametrach \(\vec{m}=(0,0)\) oraz \[\begin{equation*} \Sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{array} \right). \end{equation*}\]

    1. Pokaż, że \(\Sigma\) jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy \(\rho \in (-1,1)\).
    2. Niech \(f_{\vec{X}}\) będzie gęstością \(\vec{X}\). Wyznacz poziomice \(f_{\vec{X}}\), \[\begin{equation*} \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \: : \: f_{\vec{X}}(x,y) = c \right\}, \qquad c>0 \end{equation*}\] w zależności od parametru \(\rho\in (-1,1)\).

12. Niech \(\vec{X}=(X_1, X_2)\) będzie wektorem losowym o dwuwymiarowym standardowym rozkładzie normalnym. Rozważamy wektor \(\vec{X}\) we współrzędnych biegunowych. Niech \(R = \sqrt{X_1^2+X_2^2}\) i niech \(S = \mathrm{arccos}(X_1/R)\). Znajdź rozkład wektora losowego \((R, S)\).

Zadania dodatkowe

13. Wektor losowy \(\vec{U} = (X, Y, Z)\) ma następującą własność: jeżeli
    \[ a^2 + b^2 + c^2 = 1, \] to zmienna losowa \[ aX + bY + cZ \] ma rozkład jednostajny na \([-1, 1]\). Jaki rozkład ma wektor \(\vec{U}\)?