wykład 9: Konstrukcja systemów spinowych

Piotr Dyszewski

28-11-24

Dla \(x \in V\) oraz \(\eta \in \{0,1\}^V\) definiujemy \(\eta^{(x)} \in \{0,1\}^V\) wzorem \[\eta^{(x)}(y) = \left\{ \begin{array}{cc} \eta(y), & y \neq x \\ 1-\eta(x), & y=x \end{array}\right..\] Dla \(f\) pochodzącego z odpowiedniego podzbioru \(C_0(\{0,1\}^V)\) chcemy położyć \[\label{eq:4:defL} Lf(\eta) = \sum_{x\in V} c(x, \eta)\left[f\left(\eta^{(x)}\right) - f(\eta)\right].\] Okazuje się, że dokładne napisanie dziedziny jest problematyczne. Aby obejść tę trudność rozważmy \[\label{eq:4:defD} D = \left\{ f \in C(\{0,1\}^V) : \|f\|_o := \sup_{\eta} \sum_x \left|f\left(\eta^{(x)}\right) - f(\eta)\right| < \infty \right\}.\]

Konstrukcja systemów spinowych cd.

Aby sprawdzić (GI4) musimy wyprowadzić ograniczenie dla rozwiązań równania \(f - \lambda Lf = g\). Niech \[\epsilon = \inf_{u, \eta} [c(u, \eta) + c(u, \eta_u)] \quad \text{oraz} \quad \gamma(x, u) = \sup_\eta |c(x, \eta_u) - c(x, \eta)|.\] Zauważmy, że \(\gamma(x,u)\) mierzy stopień, w jakim intensywność zmiany w miejscu \(x\) zależy od konfiguracji w miejscu \(u\). Niech \(\ell_1(V)\) będzie przestrzenią Banacha funkcji \(\alpha : V \to \mathbb{R}\), które spełniają \[||\alpha|| := \sum_x |\alpha(x)| < \infty.\] Macierz \(\gamma\) definiuje operator \(\Gamma\) na \(\ell_1(S)\) przez \[\Gamma \alpha(u) = \sum_{x: x \neq u} \alpha(x) \gamma(x, u).\] Operator ten jest dobrze zdefiniowany i ograniczony, pod warunkiem że \[M := \sup_x \sum_{u: u \neq x} \gamma(x, u) < \infty,\] a wtedy \(||\Gamma|| = M\).

Dla \(f \in C(\{0,1\}^V)\) i \(x \in S\), niech \[\Delta f(x) = \sup_{\eta} \left|f\left(\eta^{(x)}\right) - f(\eta)\right|.\] Wtedy \(\|f\|_o = ||\Delta f||_{l_1(V)}\). Oto oszacowanie, którego potrzebujemy.

Fakt 2 Załóżmy, że spełniony jest jeden z warunków

• \(f \in D\),

• \(f\) jest ciągła i \[\begin{equation} c(x, \cdot) \equiv 0 \text{ dla wszystkich oprócz skończonej liczby } x \in V. \tag{30} \end{equation}\]

Wówczas jeśli \(f - \lambda Lf = g \in D\), \(\lambda > 0\), oraz \(\lambda M < 1 + \lambda \epsilon\), to \[\begin{equation} \Delta f \leq \left[ (1 + \lambda \epsilon)I - \lambda \Gamma \right]^{-1} \Delta g, \tag{31} \end{equation}\] gdzie nierówność zachodzi współrzędna po współrzędnej, a odwrotność jest zdefiniowana przez nieskończony szereg \[\begin{equation} \left[ (1 + \lambda \epsilon)I - \lambda \Gamma \right]^{-1} \alpha = \frac{1}{1 + \lambda \epsilon} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\lambda}{1 + \lambda \epsilon} \right)^k \Gamma^k \alpha. \tag{32} \end{equation}\]

Proof. Zauważmy, że szereg w (32) jest zbieżny dla \(\alpha \in \ell_1(V)\) na mocy założenia \(\lambda M < 1 + \lambda \epsilon\). Pisząc \(f - \lambda Lf = g\) w punktach \(\eta\) oraz \(\eta^{(u)}\), odejmując i zauważając że \((\eta^{(u)})^{(u)} = \eta\), otrzymujemy \[\begin{multline} [f(\eta^{(u)}) - f(\eta)][1 + \lambda c(u, \eta) + \lambda c(u, \eta^{(u)})] = [g(\eta^{(u)}) - g(\eta)]\\ + \lambda \sum_{x:x \neq u} \left\{ c(x, \eta^{(u)}) [f((\eta^{(u)})^{(x)}) - f(\eta^{(u)})] - c(x, \eta)[f(\eta^{(x)}) - f(\eta)] \right\}. \tag{33} \end{multline}\] Ponieważ wartości \(f(\eta^{(u)}) - f(\eta)\), gdy \(\eta\) zmienia się a \(u\) jest ustalone, tworzą zbiór symetryczny, a ta różnica jest funkcją ciągłą \(\eta\), dla każdego \(u\) istnieje takie \(\eta\), że \[f(\eta^{(u)}) - f(\eta) = \sup_{\zeta} |f(\zeta^{(u)}) - f(\zeta)| = \Delta f(u).\] Stąd, \[f(\zeta^{(u)}) - f(\zeta) \leq f(\eta^{(u)}) - f(\eta)\] dla każdej \(\zeta\). Stosując to dla \(\zeta = \eta^{(x)}\) i przekształcając, otrzymujemy \[f((\eta^{(u)})^{(x)}) - f(\eta^{(u)}) = f((\eta^{(x)})^{(u)}) - f(\eta^{(u)}) \leq f(\eta^{(x)}) - f(\eta),\] Używając tej nierówności w (33), \[\begin{multline} \Delta f(u)(1 + \lambda \epsilon) \leq \Delta f(u)[1 + \lambda c(u, \eta) + \lambda c(u, \eta^{(u)})] \\ \leq \Delta g(u) + \lambda \sum_{x:x \neq u} \left[ c(x, \eta^{(u)}) - c(x, \eta) \right] [f(\eta^{(x)}) - f(\eta)] \\ \leq \Delta g(u) + \lambda \sum_{x:x \neq u} \gamma(x,u) \Delta f(x). \tag{34} \end{multline}\] Jeśli (30) zachodzi, to tylko skończona liczba wyrazów po prawej stronie jest niezerowa, więc przy któregokolwiek z założeń faktu \(\Gamma \Delta_f\) jest dobrze określona. Dlatego (34) można zapisać jako \[(1 + \lambda \epsilon) \Delta f \leq \Delta g + \lambda \Gamma \Delta f.\] Iteracja tej nierówności prowadzi to do \[\Delta f \leq \frac{1}{1 + \lambda \epsilon} \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{\lambda}{1 + \lambda \epsilon} \right)^k \Gamma^k \Delta g + \left( \frac{\lambda}{1 + \lambda \epsilon} \right)^{n+1} \Gamma^{n+1} \Delta f.\] Jeżeli rozważymy teraz \(n \to \infty\), dostaniemy (31).

Twierdzenie 16 Załóżmy, że \(M < \infty\). Wtedy \(\overline{L}\) jest generatorem infinitezymalnym półgrupy Fellera \(T=(T(t))_{t \in \mathbb{R}_+}\). Ponadto, \[\begin{equation} \Delta T(t)f \leq e^{-t \epsilon} e^{t \Gamma} \Delta f. \tag{35} \end{equation}\] W szczególności, jeśli \(f \in D\), to \(T_tf \in D\) oraz \[\begin{equation} \|T(t)f\|_o \leq e^{(M - \epsilon)t} \|f\|_o. \tag{36} \end{equation}\]

Proof. Własności (GI1), (GI2), (GI3) i (GI5) z Definicji ?? zachodzą dla \((L, D)\) są i są dziedziczone przez \(\overline{L}\) z Faktu 1. Aby sprawdzić warunek (GI4) weźmy wstępujący ciąg \(V_n\subseteq V\) taki, że \(\bigcup_nV_n=V\). Niech \[ L_n f(\eta) = \sum_{x \in V_n} c(x, \eta) \left[f\left(\eta^{(x)}\right) - f(\eta)\right], \quad f \in C\left(\{0,1\}^V\right). (\#eq:4.10) \] To jest generator dla systemu spinowego, w którym współrzędne \[(\eta(x) : x \notin V_n)\] są stałe w czasie. Ponieważ \(L_n\) jest ograniczonym generatorem, spełnia \[\mathcal{R}(I - \lambda L_n) = C(\{0,1\}^V)\] dla dostatecznie małych \(\lambda > 0\). Dla \(g \in D\), możemy zdefiniować \(f_n \in C(\{0,1\}^V)\) przez \(f_n - \lambda L_n f_n = g\). Ponieważ \(L_n\) spełnia (30), jeśli \(\lambda\) jest wystarczająco małe, tak że \(\lambda M < 1 + \lambda \epsilon\), wtedy \(f_n \in D\) zgodnie z Faktem 2. W związku z tym możemy położyć \[g_n = f_n - \lambda L f_n \in \mathcal{R}(I - \lambda L).\] Niech \(K = \sup_{x, \eta} c(x, \eta) <\infty\), wtedy z Faktu 2, \[\begin{multline} \|g_n - g\| = \lambda ||(L - L_n) f_n|| \leq \lambda K \sum_{x \notin V_n} \Delta f_n(x)\\ \leq \lambda K \sum_{x \notin V_n} \left[ (1 + \lambda \epsilon)I - \lambda \Gamma \right]^{-1} \Delta g(x). \tag{37} \end{multline}\] Ponieważ \(\Delta g \in \ell_1(V)\), prawa strona (37) dąży do zera, gdy \(n \to \infty\), więc \(g_n \to g\). Stąd \(g \in \mathrm{cl}(\mathcal{R}(I - \lambda L))\), więc wnioskujemy, że \(D \subseteq \mathrm{cl}(\mathcal{R}(I - \lambda L))\). Ponieważ \(D\) jest gęste w \(C(\{0,1\}^V)\), widzimy, że \(\mathcal{R}(I - \lambda L)\) jest również gęste. Zgodnie z Faktem 1, \(\mathcal{R}(I - \lambda \overline{L})\) musi być domkniętym podzbiorem \(C(\{0,1\}^V)\). Zatem \[\mathcal{R}(I - \lambda \overline{L}) = C(\{0,1\}^V)\] To kończy weryfikację, że \(\overline{L}\) jest generatorem infinitezymalnym.

Przechodząc do drugiego stwierdzenia, zapiszmy (31) jako \[\Delta_{(I - \lambda L)^{-1}} g \leq \left[ (1 + \lambda \epsilon)I - \lambda \Gamma \right]^{-1} \Delta g,\] a następnie iterujmy, aby uzyskać \[\Delta_{(I - \frac{t}{n} L)^{-1}} g \leq \left[ \left( 1 + \frac{t}{n} \epsilon \right) I - \frac{t}{n} \Gamma \right]^{-n} \Delta g.\] Przechodząc do granicy otrzymujemy (35).