Wykład 12: The voter model: przypadek tranzytywny

2025-01-16

Piotr Dyszewski

Od tej pory zakładać będziemy, że symetryzowane błądzenie losowe \(Z(t)\) jest chwilowe. W tym przypadku można łatwo użyć dualności do skonstruowania jednoparametrowej rodziny nietrywialnych rozkładów stacjonarnych. Pokażemy, że wszystkie rozkłady stacjonarne leżą w otoczce wypukłej wspomnianej rodziny jednoparametrowej.

Zacznijmy od miary produktowej \(\nu_\rho\) na \(\{0,1\}^V\) o gęstości \(\rho\), dokładniej, dla \(\rho \in [0,1]\), \[\nu_\rho = \bigotimes_{x \in V} ((1-\rho)\delta_0+\rho\delta_1).\] Przypomnijmy, że zmienne losowe \(\eta \mapsto \eta(x)\) dla \(x \in V\) na przestrzeni probabilistycznej \((\{0,1\}^V, \mathcal{B}or(\{0,1\}^V), \nu_\rho)\) są iid z rozkładem \[\nu_\rho(\eta \: : \: \eta(x) =1) = 1-\nu_\rho (\eta \: : \: \eta(x)=0) = \rho.\] Wykorzystując dualność między modelem głosowania (the voter model) \((\eta_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\), a zlewającymi się spacerami losowymi \((A_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) dla dowolnego skończonego \(A \subset V\) mamy \[\begin{multline} \mathbf{P}_{\nu_\rho}[ \eta_t \equiv 1 \text{ na } A] = \int \mathbf{P}_\eta(\eta_t \equiv 1 \text{ na } A) \nu_\rho(\mathrm{d}\eta) = \int \mathbf{P}_A(\eta \equiv 1 \text{ na } A_t) \nu_\rho(\mathrm{d}\eta)\\ = \sum_B \mathbf{P}_A(A_t = B) \int 1_{\{\eta \equiv 1 \text{ na } B\}} \nu_\rho(\mathrm{d}\eta) = \mathbf{E}_A \rho^{|A_t|} \tag{41} \end{multline}\] Ponieważ \(|A_t|\) jest nierosnące w czasie \(t\), to \[a_\infty = \lim_{t \to \infty}|A_t|\] jest dobrze określone. Przechodząc do granicy w (41) widzimy, że \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_{\nu_\rho} \left[\eta_t \equiv 1 \mbox{ na } A \right] = \mathbf{E}_{A}\left[ \rho^{a_\infty} \right].\] Skoro zbieżność rozkładów skończenie wymiarowych charakteryzuje słabą zbieżność na \(\{0,1\}^V\) to \[\begin{equation} \lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_{\nu_\rho} \left[ \eta_t \in \cdot \right] = \mu_\rho(\cdot) \tag{42} \end{equation}\] słabo dla pewnej miary \(\mu_\rho\) na \(\{0,1\}^V\) takiej, że \[\begin{equation} \mu_\rho \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\} = \mathbf{E}_A \left[ \rho^{a_\infty} \right] \tag{43} \end{equation}\] Ponieważ \(\mu_\rho\) jest słabą granicą procesu Fellera (z rozkładem początkowym \(\nu_\rho\)), to jest ona dla niego stacjonarna (zadanie). Równość (43) całkowicie charakteryzuje \(\mu_\rho\) ale nie mówi wiele o jej własnościach. Przyjrzyjmy się im teraz nieco dokładniej. Rozważając (43) dla \(A\) będącego singletonem otrzymujemy \[\begin{equation} \mu_\rho \{\eta : \eta(x)=1\} = \mathbf{E}_{\{x\}} \left[ \rho^{a_\infty} \right]= \rho \tag{43} \end{equation}\] dla każdego \(x \in V\). W szczególności wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\eta \mapsto \eta(x)\) względem prawdopodobieństwa \(\mu_\rho\) wynosi \[\mathbb{E}_{\mu_\rho} \left[\eta(x) \right] = \int_{\{ 0,1\}^V} \eta(x) \: \mu_\rho(\mathrm{d} \eta) =\rho.\] Dla \(x,y \in V\) rozważmy kowariancję zmiennych losowych \(\eta \mapsto \eta(x)\) oraz \(\eta \mapsto \eta(y)\) względem miary \(\mu_\rho\), \[\begin{multline} \text{Cov}_{\mu_\rho}(\eta(x), \eta(y)) = \mathbb{E}_{\mu_\rho} [\eta(x) \eta(y)] - \mathbb{E}_{\mu_\rho}[\eta(x)] \mathbb{E}_{\mu_\rho}[\eta(y)] \\ = \mu_\rho \{\eta : \eta(x) = \eta(y) = 1\} - \rho^2 = \mathbf{E}_{\{x,y\}}\left[\rho^{a_\infty} - \rho^2\right]\\ = \rho(1 - \rho) \mathbf{P}_{\{x,y\}}(a_\infty = 1) = \rho(1 - \rho) \mathbb{P}_{x - y}(Z(t) = 0 \text{ dla pewnego } t \geq 0) \end{multline}\] Aby poradzić sobie z ostatnim prawdopodobieństwem wykorzystamy funkcję Greena \[G(x, y) = \int_0^\infty \mathbb{P}_x[Z(t) = y] \mathrm{d} t = \mathbb{E}_x \left[\int_0^\infty \mathbf{1}_{\{ Z(t)=y \}} \mathrm{d}t \right].\] Jest to średni czas jaki spacer zapoczątkowany w \(x\) spędza w punkcie \(y\). Stosując mocną własność Markowa do \[\tau_y = \inf \{ t \geq 0 \: : \; Z_t=y \}\] czasu pierwszej wizyty w \(y\) otrzymujemy \[\begin{equation} G(x,y) = \mathbb{P}_{x}[\tau_y<\infty] G(y,y) = \mathbb{P}_x[\tau_y<\infty] G(0,0), \tag{44} \end{equation}\] gdzie ostatnia równość wynika z niezmienniczości na przesunięcia. Skoro \[\mathbb{P}_x [\tau_y< \infty] = \mathbb{P}_{x - y}(Z(t) = 0 \text{ dla pewnego } t \geq 0)\] możemy stwierdzić, że badana przez nas kowariancja wynosi \[\text{Cov}_{\mu_\rho}(\eta(x), \eta(y)) = \rho(1 - \rho) \frac{G(x, y)}{G(0, 0)}.\]

Fakt 3 Załóżmy, że \(Z = (Z_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest tranzytywny. Wówczas dla każdego \(x \in V\), \[\lim_{|y|\to \infty}G(x,y) = \lim_{|y|\to \infty} \mathbb{P}_x[\tau_y <\infty] =0.\]

Proof. Jeżeli uzasadnimy drugą postulowaną równość, to pierwsza wyniknie z (44). Z niezmienniczości na przesunięcia \[\mathbb{P}_x[\tau_y <\infty] = \mathbb{P}_0[\tau_{y-x}<\infty].\] Możemy zatem bez zmniejszania ogólności założyć, że \(x=0\). Dla \(t \in \mathbb{R}_+\) mamy \[\mathbb{P}_0[\tau_y<\infty] = \mathbb{P}_0[\tau_y \leq t] + \mathbb{P}_0[t<\tau_y<\infty].\] Pokażemy, że \[\lim_{t \to \infty} \sup_{y \in V}\mathbb{P}[t < \tau_y<\infty]=0.\] Rozważmy \(\tau_y^t = \inf\{ s >t \: : \: Z(s)=y\}\). Argumentując tak samo jak w przypadku (44), \[\begin{multline} \int_t^{\infty} \mathbb{P}_0[Z_s=y] \mathrm{d}s= \mathbb{E}_0 \left[ \int_t^\infty \mathbf{1}_{\{Z(s) = y\}} \mathrm{d}s \right] \\ = \mathbb{P}_0\left( \tau_y^t<\infty\right) G(y, y) = \mathbb{P}_0\left( \tau_y^t<\infty\right) G(0, 0). \tag{45} \end{multline}\] Lewa strona jest maksymalizowana, gdy \(y=0\) ponieważ jest tak dla funkcji przejścia. Istotnie, wykorzystując równania Chapmanna-Kołmogorowa, nierówność Cauchy’ego-Schwarza oraz symetryczność spaceru otrzymujemy \[\begin{multline} \mathbb{P}_0(Z(2t) = y) = \sum_{z \in V} \mathbb{P}_0(Z(t) = z)\mathbb{P}_z(Z(t) = y) \\ \leq \left( \sum_{z \in V} \mathbb{P}_0[Z(t) = z]^2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sum_{z \in V} \mathbb{P}_z[Z(t) = y]^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ = \mathbb{P}_0(Z(2t) = 0]^{\frac{1}{2}} \mathbb{P}_y(Z(2t) = y]^{\frac{1}{2}} = \mathbb{P}_0[Z(2t) = 0]. \end{multline}\] Skoro (45) rzeczywiście jest maksymalizowana dla \(y=0\), to \[\sup_{y \in V} \mathbb{P}_0[\tau_y^t<\infty] = \mathbb{P}_0[\tau_0^t <\infty].\] Stąd \[\sup_{y \in V}\mathbb{P}_0[t < \tau_y<\infty] \leq \sup_{y \in V}\mathbb{P}_0[\tau_y^{t}<\infty]= \mathbb{P}_0[\tau_0^{t}<\infty] \to 0,\] gdzie ostatnia zbieżność wynika z tranzytywności \(Z\). Wystarczy zatem pokazać, że dla każdego \(t \in \mathbb{R}_+\), \[\lim_{|y| \to \infty}\mathbb{P}_0[\tau_y \leq t] =0.\] Z mocnaj własności Markowa \[\mathbb{P}_0(Z(\tau_y + s) = x \mid \mathcal{F}_{\tau_y}) = \mathbb{P}_y(Z(s) = y) \geq e^{-2c(y)s} \geq e^{-2Ms}.\] gdzie \(M\) jest zdefiniowane w (??). Nierówność wynika z faktu, że czas spędzony w punkcie \(x\) jest rozkładany wykładniczo z parametrem \(\leq 2M\). Mnożąc przez indykator zdarzenia \(\{\tau_x \leq t\}\) i biorąc wartości oczekiwane i całkując po \(s \in [0,1]\) otrzymujemy \[\int_0^1 \mathbb{P}_0(Z(\tau_y + s) = x, \tau_x \leq t) \mathrm{d}s \geq \mathbb{P}_0(\tau_y \leq t) \int_0^1 e^{-2Ms} \mathrm{d}s.\] Lewa strona to co najwyżej \[\mathbb{E}_0 \left[ \int_0^{t+1} 1_{\{Z(s) = y\}} \mathrm{d}s \right].\] Sumując po wszystkich \(y \in V\) dostajemy \[\sum_y \mathbb{P}_0(\tau_y \leq t) \leq \frac{2M(t + 1)}{1 - e^{-2M}} <\infty.\] 

Zadanie 1. Pokaż, że \[\mu_\rho( \eta(x) =1 | \eta(y)=1) = (1-\rho) \frac{G(x,y)}{G(0,0)} + \rho.\]

Zauważmy, że jeżeli \(x \in V\) jest ustalone a \(|y| \to \infty\) to \[\lim_{t \to \infty}\text{Cov}_{\mu_\rho}(\eta(x), \eta(y)) = 0\] ponieważ \(\mathbb{P}_x[\tau_y<\infty] \to 0\). Rachunek z zadania daje wówczas \[\lim_{t \to \infty}\mu_\rho(\eta(x)= 1 \: | \: \eta(y)=1 ) = \rho = \mu_\rho(\eta(y) =1).\] Czyli dla dużych wartości \(|y|\), \[\mu_\rho(\eta(x)=\eta(y)=1) \approx \mu_{\rho}(\eta(x)=1) \mu_{\rho}(\eta(y)=1)\] Innymi słowy \(\eta(x)\) i \(\eta(y\) są asymptotycznie niezależne przy \(|x-y| \to \infty\).

Definicja 13 Niech \(\mu\) będzie niezmienniczą względem translacji miarą prawdopodobieństwa na \(\{0, 1\}^V\). Mówimy, że \(\mu\) jest mieszająca, jeśli spełnia \[\lim_{x \to \infty} \mu \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A \cup (B + x)\} = \mu \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\} \mu \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B\}\] dla dowolnych skończonych \(A, B \subset S\).

Twierdzenie 18 Dla każdego \(\rho \in [0,1]\) miara \(\mu_\rho\) jest mieszająca.

Aby udowodnić powyższe twierdzenie będziemy potrzebować własności prawdopodobieństwa kolapsu \[\begin{equation} g(A) = \mathbf{P}_A(|A_t| < |A| \text{ dla pewnego } t > 0). \tag{46} \end{equation}\] Wówczas jeśli \(A \subset B\), to \(g(A) \leq g(B)\). Dodatkowo jeżeli \(|A| \geq 2\), to \[g(A) \leq \sum_{B \subset A, |B| = 2} g(B).\] Zauważmy, że \[g(\{0,x\}) = \mathbb{P}_0[\tau_x<\infty].\] Stąd \[\lim_{x \to \infty} g(\{0, x\}) = 0\] Oznacza to, że jeżeli \(A\) jest skończonym zbiorem, który jest rozstrzelony (każde dwa jego elementy są od siebie odległe), to \(g(A)\) jest bliskie zero.

Proof. (Twierdzenia 18) Zauważmy, że \(\nu_\rho\) jest niezmiennicza na przesunięcia dla każdego \(\rho \in [0,1]\). Stąd niezmiennicza są również \(\mathbf{P}_{\nu_\rho}[\eta_t \in \cdot]\). Wykorzystując zbieżność (42) wnioskujemy niezmienniczość \(\mu_\rho\).

Aby sprawdzić warunek mieszania rozważmy dwie niezależne kopie zlewających się spacerów losowych \((A_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) i \((B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) zapoczątkowanych odpowiednio w \(A\) i \(B\). Rozważmy \(\tau = \inf \{ s >0 \: : \: A_s \cap B_s \neq \emptyset\}\). Rozważmy \((C_t)\) dane przez \[C_t = A_t \cup B_t \qquad t \leq \tau.\] Po czasie \(\tau\) niech \(C_t\) rozwija się jak zlewający się spacer losowy zapoczątkowany w \(C_\tau\) niezależnie od \(A_t\) i \(B_t\). Wówczas \(C_t\) jest zlewającym się spacerem losowym zapoczątkowanym w \(A \cup B\). Na mocy (43), \[\begin{multline} |\mu_\rho \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A \cup B\} - \mu_\rho \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\} \mu_\rho \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B\}| \\ = |\mathbb{E}\rho^{c_\infty} - \mathbb{E}\rho^{a_\infty + b_\infty}| \leq \mathbb{P}(\tau < \infty) \leq \sum_{u \in A, v \in B} g(\{u, v\}). \end{multline}\] gdzie \(a_\infty\), \(b_\infty\) i \(c_\infty\) to granice odpowiednio \(|A_t|\), \(|B_t|\) oraz \(|C_t|\) przy \(t \to \infty\). Zastępując teraz \(B\) przez \(B + x\) i przechodząc z \(|x| \to \infty\) dostajemy tezę. 

Przypomnijmy, że przez \(\{X_j(t)\}_j\) oznaczamy niezależne spacery losowe na \(V = \mathbb{Z}^d\) o intensywnościach \(q(x,y)\).

Fakt 4 Niech \(g\) będzie funkcją zbioru daną przez (46). Wówczas

• Dla każdego \(k\), \[\lim_{t \to \infty} g(\{X_1(t), \dots, X_k(t)\}) = 0 \quad p.w.\]

• Dla każdego stanu początkowego \(A_0\), \[\lim_{t \to \infty} g(A_t) = 0 \quad p.w.\]

Proof. Skoro symetryzowany spacer losowy jest tranzytywny, to \[\lim_{t \to \infty} Z(t) = \infty \quad p.w.\] dla dowolnego punktu startowego. Korzystając zatem z własności prawdopodobieństwa kolapsu \[\begin{multline} g(\{X_1(t), \dots, X_k(t)\}) \leq \sum_{1 \leq i < j \leq k} g(\{X_i(t), X_j(t)\})\\ = \sum_{1 \leq i < j \leq k} g(\{0, X_j(t) - X_i(t)\}). \end{multline}\] Prawa strona zbiega do zera p.w.

Aby uzasadnić drugi postulat zauważmy, że jeśli \(|A_0| = k\), To możemy określić \(A_t\) i \(\{X_1(t), \dots, X_k(t)\}\) na tej samej przestrzeni probabilistycznej, tak aby \(A_t \subset \{X_1(t), \dots, X_k(t)\}\) dla wszystkich \(t\). Można to zrobić, używając tych samych czasów przejść dla obu procesów, ale przy każdym zlaniu zachowując tylko jedną z koalizujących cząstek w \(A_t\). Wobec monotoniczności \(g\), \[g(A_t) \leq g(\{X_1(t), \dots, X_k(t)\}).\] Zastosowanie pierwszej części faktu kończy dowód. 

Lemma 2 Ciąg \(\{c_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) jest ciągiem momentów pewnej miary probabilistycznej na \([0,1]\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(c_0=1\) oraz \[\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k c_{m+k} \geq 0\] dla wszystkich naturalnych \(n, m\).

Proof. Załóżmy najpierw, że \(c_k\) są momentami rozkładu pewnej zmiennej losowej \(\xi\), dokładniej \[c_k = \mathbb{E}\left[\xi^k\right]\] dla każdego \(k \in \mathbb{N}\). Wówczas \[\sum_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k c_{m+k} = \mathbb{E} \left[\xi^n(1-\xi)^m \right] \geq 0.\] Dowód przeciwnej implikacji jest bardziej złożony. Można go znaleźć w Thomas M. Liggett, Continuous time Markov Processes. An Introduction, Theorem A.32.

Twierdzenie 19 Zbiór wszystkich rozkładów stacjonarnych jest domkniętą otoczką wypukłą \(\{\mu_\rho : 0 \leq \rho \leq 1\}\). Dokładniej, dla każdej miary stacjonarnej \(\pi\) istnieje miara probabilistyczna \(\gamma\) na \([0,1]\) taka, że \[\pi(\cdot) = \int_0^1 \mu_\rho(\cdot) \mathrm{d}\rho.\]

Proof. Niech \(\pi\) będzie rozkładem stacjonarnym. Przypomnijmy, że \[\label{eq:4.28} \pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\} = \mathbf{P}_\pi[\eta_t \equiv 1 \text{ na } A] = \sum_B \mathbf{P}_A(A_t = B) \pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B\}. \tag{47} \] Niech \(h(A) = \pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\}\) i niech \((V_t)\), będzie półgrupą Fellera związaną z \(A_t\): \(V_tf(A) = \mathbf{E}_A f(A_t)\) dla \(f\) określonej na skończonych podzbiorach \(V\). Wówczas (47) zapisuje się jako \(h=V_th\). Niech \(U_t\) będzie półgrupą Fellera związaną z \(n\)-niezaleznymi spacerami losowymi na \(V\): \[U_td(x_1, \dots, x_n) = \mathbb{E}_{x_1, \dots, x_n} d(X_1(t), \dots, X_n(t)).\] Operator \(U_t\) możemy rozszerzyć do funkcji na zbiorach poprzez \[U_tf \{ x_1, \ldots , x_n\} = \mathbb{E}_{x_1, \dots, x_n} f(\{X_1(t), \dots, X_n(t)\}).\] Mamy \[\label{eq:4.29} |V_tf(A) - U_tf(A)| \leq g(A).\] Stosując to do \(h\), otrzymujemy \[\label{eq:4.30} |h(A) - U_th(A)| \leq g(A). \tag{48} \] Nakładając \(U_s\) i korzystając z jego monotoniczności i liniowości \[|U_sh(A) - U_{t+s}h(A)| \leq U_sg(A).\] Prawa strona zbiega do zera, gdy \(s \to \infty\) zgodnie z Faktem 4. Stąd \(\lim_{s \to \infty} U_sh(A)\) istnieje i jest harmoniczna dla nieredukowalnego spaceru losowego \((X_1(t), \dots, X_n(t))\) na \(S^n = (Z^d)^n\). Takie funkcje harmoniczne są stałe, więc wnioskujemy, że istnieją stałe \(c(n)\), takie że \[\lim_{s \to \infty} U_sh(A) = c(|A|)\] dla dowolnego \(A\). Oczywiście \(c(n)\) zależy od \(h\), a tym samym od miary stacjonarnej \(\pi\). Przechodząc do granicy w (48), wnioskujemy, że \[\begin{equation}\label{eq:5:4.31} |h(A) - c(|A|)| \leq g(A). \tag{49} \end{equation}\] Jeżeli zbiór \(A\) jest rozstrzelony, to \(h(A)\) jest bliskie \(c(|A|)\). Jeżeli \[\pi(\cdot) = \int_0^1 \mu_\rho(\cdot) \gamma(\mathrm{d}\rho)\] dla pewnej \(\gamma\), to dla rozstrzelonych \(A\), \[c(|A|) \approx h(A) = \pi (\eta \equiv 1 \mbox{ na } A) = \int_0^1 \mu_\rho( \eta \equiv 1 \mbox{ na } A) \gamma(\mathrm{d}\rho).\] Jeżeli \(A\) jest rozstrzelone, to skoro \(\mu_\rho\) jest mieszająca \[\mu_\rho( \eta \equiv 1 \mbox{ na } A) \approx \rho^{|A|}.\] Oznacza to, że szukana przez nas miara \(\gamma\) powinna spełniać \[c(n) = \int_0^1 \rho^n \gamma(d\rho).\] Zgodnie z Lematem 2, koniecznym i wystarczającym warunkiem na to jest, aby \[\begin{equation} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k c(k + m) \geq 0 \tag{50} \end{equation}\] dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych \(n, m\). Aby sprawdzić (50), ustalmy \(m, n\), i rozważmy, ciąg zbiorów \(A_i\) o liczebności \(m + n\), tak aby \(g(A_i) \to 0\). Niech \(A_i = B_i \cup C_i\), gdzie \(|B_i| = m\) i \(|C_i| = n\). Wówczas \(g(B_i) \to 0\) oraz \(g(C_i) \to 0\), gdyż \(B_i\) i \(C_i\) są podzbiorami \(A_i\). Stosując zasadę włączeń i wyłączeń, \[\pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B_i, \eta \equiv 0 \text{ na } C_i\} = \sum_{F \subseteq C_i} (-1)^{|F|} h(B_i \cup F).\] Istotnie, aby zobaczyć, że powyższe jest prawdą rozważmy \(\nu (A) = \mu\{ \eta\equiv 1 \mbox{ na } B_i, A\}\). Dla \(x \in V\) niech \(A_x = \{\eta \: : \: \eta(x)=1\}\). Wówczas \[\begin{multline} \pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B_i, \eta \equiv 0 \text{ na } C_i\} = \nu \left( \bigcap_{x \in C_i} A_x^c \right) =\\ \int \prod_{x \in C_i} (1-\mathbf{1}_{A_x}(\eta)) \nu(\mathrm{d}\eta) = \int \sum_{F \subseteq C_i} (-1)^{|F|} \prod_{x \in F}\mathbf{1}_{A_x}(\eta) \nu(\mathrm{d}\eta) \\ = \sum_{F \subseteq C_i} (-1)^{|F|} \nu \left( \bigcap_{x \in F}A_x \right) \sum_{F \subseteq C_i} (-1)^{|F|} h(B_i \cup F). \end{multline}\] Przechodząc z \(i \to \infty\) mamy \(h(B_i\cup F) \to c(|B_i|+|F|)\) a stąd \[\lim_{i \to \infty} \pi \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B_i, \eta \equiv 0 \text{ na } C_i\} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k c(k + m),\] co z kolei daje daje (50). Aby pokazać, że \(\gamma\) jest szukaną przez nas miarą połóżmy \[\pi^*(\cdot) = \int_0^1 \mu_\rho(\cdot) \gamma(d\rho) \quad \text{oraz} \quad h^*(A) = \pi^* \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\}.\] Wówczas \(\pi^*\) jest rozkładem stacjonarnym ponieważ jest kombinacją wypukłą rozkładów stacjonarnych. Argumentując podobnie jak na początku dowodu pokazujemy, że \(h*=V_th^*\). Mamy \[0 \leq \mu_\rho(\eta \equiv 1 \mbox{ na } A) -\rho^{|A|} = \mathbf{E}_A[\rho^{a_\infty} - \rho^{|A|}] \leq g(A).\] Całkując względem \(\gamma(\mathrm{d}\rho)\) otrzymujemy \[|h^*(A) - c(|A|)| \leq g(A),\] co w połączeniu z (49) daje \[|h^*(A) - h(A)| \leq 2g(A).\] Stosując \(V_t\) do tego i używając harmoniczności \(V_t\) zarówno dla \(h\), jak i \(h^*\), otrzymujemy \[|h^*(A) - h(A)| \leq 2V_tg(A).\] Rozważając teraz \(t \to \infty\) i używając Faktu 4, daje \(h^* \equiv h\), a zatem \(\pi^* = \pi\). Zatem \[\pi = \int_0^1 \mu_\rho \gamma(\mathrm{d}\rho),\] co kończy dowód.