Wykład 3: procesy i półgrupy Fellera

2024-10-17

Piotr Dyszewski

W tym rozdziale \(S\) jest ośrodkową, lokalnie zwartą przestrzenią metryczną, a \(C(S)\) jest przestrzenią ciągłych funkcji rzeczywistych na \(S\). Przez \(C_0(S)\) oznaczać będziemy klasę funkcji z \(C(S)\) znikających w nieskończoności. Dokładniej \(C_0(S)\) to zbiór funkcji \(f\) z \(C(S)\) takich, że dla każdego dodatniego \(\epsilon\) istnieje zwarty \(K \subseteq S\) taki, że \(|f(x)| \leq \epsilon\) dla \(x \in S \setminus K\). Zauważmy, że jeżeli \(S\) jest zwarta, to \(C_0(S) = C(S)\). Dodatkowo każda \(f\) z \(C_0(S)\) jest jednostajnie ciągła, tj. dla każdego dodatniego \(\epsilon\) istnieje dodatnia \(\delta\), taka, że dla każdych \(x , y\in S\), \[\begin{equation*} \mathrm{d}(x,y) < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(y)| <\epsilon. \end{equation*}\] Tutaj \(\mathrm{d}\) jest metryką na \(S\). W obu przestrzeniach \(C(S)\) i \(C_0(S)\) używamy normy jednostajnej \[ \|f\| = \sup_{x \in S} |f(x)|, \] co czyni \(C_0(S)\) przestrzenią Banacha. Głównym powodem stosowania ciągłych funkcji zanikających w nieskończoności zamiast ograniczonych ciągłych funkcji w przypadku lokalnie zwartym jest to, że jednostajna ciągłość jest wymagana w wielu argumentach. Ograniczone funkcje ciągłe nie są zwykle jednostajnie ciągłe, podczas gdy ciągłe funkcje zanikające na nieskończoności są. Innym powodem jest to, że \(C_0(S)\) jest ośrodkowa, co nie jest ogólnie prawdziwe dla przestrzeni wszystkich ograniczonych ciągłych funkcji na \(S\).

Proces

Zaczynamy od opisu składników potrzebnych do definicji głównego obiektu zainteresowania w tym rozdziale. Konstrukcja będzie analogiczna do łańcuchów Markowa w czasie ciągłym. Niech \(\Omega = D[0, \infty)\) będzie zbiorem funkcji prawostronnie ciągłych$ \(\omega : [0, \infty) \to S\) z lewymi granicami w każdym punkcie. Tak jak poprzednio dla \(s, t \in \mathbb{R}_+\) połóżmy też \[ X_t(\omega) = \omega(t) \text{ oraz } (\theta_s \omega)(t) = \omega(t + s). \] Niech \(\mathcal{F}\) będzie najmniejszym \(\sigma\)-ciałem podzbiorów \(\Omega\) względem którego wszystkie \(X_t\) dla \(t \in \mathbb{R}_+\) są mierzalne.

Definicja 7 Procesem Fellera na \(S\) nazywamy parę uporządkowaną \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) taką, że

• (PF1) \(\mathbf{P}=\{\mathbf{P}_x\}_{x \in S}\), gdzie dla każdego \(x \in S\), \(\mathbf{P}_x\) jest miarą probabilistyczną na \((\Omega, \mathcal{F})\) taką, że \[\begin{equation} \mathbf{P}_x[X_0 = x] = \mathbf{P}_x [\omega \: : \: \omega(0)=x] = 1. \tag{5} \end{equation}\]

• (PF2) \(\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t\}_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest filtracją na \(\Omega\), względem której zmienne losowe \(X(t)\) są adaptowane.

• (PF3) Odwzorowanie \[\begin{equation} x \mapsto \mathbf{E}_x \left[f(X_t) \right] \text{ jest w } C_0(S) \text{ dla wszystkich } f \in C_0(S) \text{ i } t \geq 0. \tag{6} \end{equation}\]

• (PF4) Spełniona jest własność Markowa \[\begin{equation} \mathbf{E}_x\left[Y \circ \theta_s \mid \mathcal{F}_s\right] = \mathbf{E}_{X(s)}\left[Y\right] \quad \mathbf{P}_x\text{-prawie wszędzie } \tag{7} \end{equation}\] dla wszystkich \(x \in S\) oraz wszystkich ograniczonych mierzalnych \(Y\) na \(\Omega\).

Własność (6) znana jest jako własność Fellera. Innym sposobem przedstawienia części ciągłości, który wydaje się całkiem naturalny, jest to, że \(x_n \to x\) w \(S\) implikuje, że rozkład \(X\) dla procesu rozpoczynającego się w \(x_n\) zbiega się słabo do tego dla procesu rozpoczynającego się w \(x\). Własność Fellera (razem z prawostronną ciągłością trajektorii) implikuje silną własność Markowa.

Twierdzenie 8 Każdy proces Fellera ma silną własność Markowa. Jeżeli \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) jest procesem Fellera, to dla każdej ograniczonej zmiennej \(Y \colon \Omega \to \mathbb{R}\) oraz \(\mathbb{F}\)-czasu zatrzymania \(\tau\) i każdego \(x\), \[ \mathbf{E}_x [Y \circ \theta_\tau \mid \mathcal{F}_\tau] = \mathbf{E}_{X(\tau)} \left[ Y \right]\quad \text{prawie na pewno } \mathbf{P}_x \] na zdarzeniu \(\{\tau < \infty\}\).

Zadanie 5 Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem Fellera. Pokaż, że odwzorowanie \[\begin{equation} x \mapsto \mathbf{E}_x \left[ \prod_{j=1}^n f_j(X_{t_j}) \right] \tag{8} \end{equation}\] jest ciągłe dla dowolnego \(n\), dowolnych \(t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}\) oraz dowolnych \(f_1, \ldots, f_n \in C_0(S)\).

Proof (Twierdzenia 8). Rozumowanie przebiega identycznie jak w przypadku łańcuchów Markowa w czasie ciągłym. W miejscu, w którym wymagana jest ciągłość odwzorowań \(x \mapsto \mathbf{E}_x[Y]\) należy powołać się na tezę Zadania 5.

Przykład 3 Niech \(B = (B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie standardowym ruchem Browna określonym na przestrzeni probabilistycznej \((\Sigma, \mathcal{G}, \mathbb{P})\). Przypomnijmy, że oznacza to, że

1. \(B_0=0\) \(\mathbb{P}\)-p.w.
2. Dla dowolnych \(t,s \in \mathbb{R}_+\), \(t\geq s\) zmienna \(B_t-B_s\) ma rozkład normalny \(\mathcal{N}(0,t-s)\) o średniej zero i wariancji \(t-s\).
3. Dla dowolnych \(t,s \in \mathbb{R}_+\), \(t\geq s\) zmienna \(B_t-B_s\) jest niezależna od sigma ciała \(\mathcal{G}_s^B = \sigma(B_r \: : \: r \leq s)\).
4. Odwzorowanie \(t \mapsto B_t\) jest ciągłe.

Pokażemy, że ruch Browna jest procesem Fellera w myśl przyjętej przez nas definicji. Połóżmy \(\mathcal{F}_t = \sigma(X_s \: : \: s \leq t)\). Niech \(S = \mathbb{R}\). Dla \(x \in S\) zdefiniujmy \(\mathbf{P}_x\) jako rozkład ruchu Browna (rozumianego jako funkcji \(\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}\)) zapoczątkowanego w punkcie \(x\), dokładniej dla \(A \in \mathcal{F}\) niech \(\mathbf{P}_x[A] = \mathbb{P}[B+x \in A]\). Tutaj przez \(B+x\) rozumiemy funkcję \(t \mapsto B_t+x\).

Spełniona jest własność (PF1), ponieważ \[\begin{equation*} \mathbf{P}_x[X_0=x] = \mathbb{P}[B_0+x=x]=1. \end{equation*}\] Własność (PF2) jest spełniona wprost z definicji filtracji \(\mathbb{F}\). Aby uzasadnić własność Fellera (PF3) ustalmy \(f \in C_0(S)\). Ciągłość \[\begin{equation*} x \mapsto \mathbf{E}_x\left[ f(X_t) \right] = \mathbb{E}[f(B_t+x)] \end{equation*}\] wynika z ciągłości \(f\) oraz twierdzenia o zbieżności ograniczonej. Aby uzasadnić, że powyższe odwzorowanie jest klasy \(C_0(S)\) należy pokazać, że \[\begin{equation*} \lim_{|x| \to \infty} \mathbf{E}_x[f(X_t)] =0. \end{equation*}\] Wystarczy w tym celu rozważyć oszacowanie \[\begin{equation*} \left|\mathbb{E}[f(B_t+x)]\right| \leq \|f \| \mathbb{P}[|B_t| >|x|/2] + \sup_{|y| >|x|/2}|f(y)|. \end{equation*}\] Oba składniki po prawej stronie zbiegają do zera, przy czy zbieżność tego drugiego wynika z \(f \in C_0(\mathbb{R})\). Własność Markowa uzasadniamy dokładnie w taki sam sposób, w jaki zrobiliśmy to dla procesu Poissona w Przykładzie 1.

Zadanie 6 Niech \(S=\mathbb{Z}\). Pokaż, że łańcuch Markowa w czasie ciągłym \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) jest procesem Fellera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(y \in S\) i każdego \(t \in \mathbb{R}_+\), \[\begin{equation*} \lim_{|x| \to \infty} \mathbf{P}_x[X_t=y]=0. \end{equation*}\]

Półgrupa

Chcemy teraz przedstawić odpowiednik funkcji przejścia na nieprzeliczalnej przestrzeni stanów. W naturalny sposób nasuwa się rozważenie rozkładów \(\mathbf{P}_x[X_t \in \mathrm{d} y]\). Jednak na dłuższą metę język rozkładów jest nieporęczny. O wiele bardziej praktyczny jest język półgrup. Aby umotywować następną definicję, rozważmy przeliczalną przestrzeń stanów \(S_0\) oraz funkcję przejścia \(p\) na \(S_0\). Funkcję przejścia można zakodować w kategoriach rodziny operatorów \[\begin{equation} T_tf(x) = \sum_{y\in S_0} p_t(x, y)f(y), \tag{9} \end{equation}\] dla \(f \in C_0(S_0)\). Jasne jest, że znając \(T_t\), a więc znając wartości \(T_tf\) dla wszystkich \(f \in C_0(S_0)\), znamy też funkcję przejścia \(p_t(x,y)\). Wykorzystując równiania Chapmana-Kołmogorowa dostajemy dla \(s,t\geq 0\), \[\begin{multline*} T_{s+t} f(x) = \sum_{y \in S_0} p_{t+s}(x,y) f(y) = \sum_{y \in S_0} \sum_{z \in S_0} p_t(x,z)p_s(z,y)f(y) \\ \sum_{z \in S_0} p_t(x,z)\sum_{y\in S_0}p_s(z,y)f(y) =\sum_{z \in S_0} p_t(x,z) (T_sf)(z) = T_t(T_s(f))(x). \end{multline*}\] Wszystkie powyższe manipulacje są dozwolone ponieważ \(f \in C_0(S_0)\) jest ograniczona. Powyższa tożsamość zapisuje się jako \(T_t T_s = T_t\circ T_s = T_{t+s}\). Oznacza to, że \((T_{t})_{t \geq 0}\) tworzą półgrupę.

Definicja 7 Półgrupa Fellera to rodzina ciągłych operatorów liniowych \(T=\{T_t\}_{t \in \mathbb{R}_+}\) na \(C_0(S)\) spełniających następujące własności:

1. \(T_0f = f\) dla wszystkich \(f \in C_0(S)\).
2. Dla każdego \(f \in C_0(S)\), \(\lim_{t \to 0} T_tf = f\) w \(C_0(S)\).
3. \(T_{t+s}f = T_sT_tf\) dla każdego \(f \in C_0(S)\).
4. \(T_tf \geq 0\) dla każdego nieujemnego \(f \in C_0(S)\).
5. Istnieje rodzina \(f_n \in C_0(S)\), \(n\in \mathbb{N}\) taka, że \(\sup_n \|f_n\| < \infty\), oraz \(T_tf_n\) zbiega punktowo do \(1\) dla każdego \(t \geq 0\).

Część c. to analogia równań Chapmana-Kolmogorowa i nazywana jest własnością półgrupy. Jedną z jej konsekwencji jest to, że \(T(t)\) i \(T(s)\) komutują, tj. \(T_tT_s=T_{t+s}=T_{s+t}=T_sT_t\). Z części d. i e. wynika, że \(\|T(t)f\| \leq \|f\|\) dla wszystkich \(f \in C_0(S)\), tak więc każdy \(\|T\|\leq 1\). Własność b. jest znana jako mocna ciągłość. Wraz z c. i własnością kontrakcji, implikuje to, że funkcja \(t \mapsto T(t)f\) z \([0, \infty)\) do \(C_0(S)\) jest ciągła.

Oto ważny przykład - półgrupa Gaussa–Weierstrassa. Część b. tego ćwiczenia ilustruje powody przyjmowania funkcji w \(C_0(S)\) zanikających na nieskończoności.

Zadanie 7 Niech \(S = \mathbb{R}\) i \(B=(B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie ruchem Browna.

1. Pokaż, że \(T_t\) zdefiniowane przez \[ T_tf(x) = \mathbb{E} [f(B_t+x)] \] jest półgrupą Fellera.
2. Wyjaśnij, dlaczego \(T\) nie jest mocno ciągła jako półgrupa operatorów na klasie \(C_b(S)\) ograniczonych funkcji z \(C(S)\).

Działanie półgrupy Gaussa-Weierstrassa na funkcji \(f(x)\), zdefiniowanej jako \(\sin(x)\) na przedziale \([-\pi, \pi]\) i \(0\) poza nim. Funkcja wynikowa \(T_tf(x)\) jest wyznaczana jako splot \(f\) z jądrem Gaussa dla zadanego parametru \(t\).

W tym rozdziale konieczne będzie całkowanie funkcji ciągłych przyjmujących wartości w \(C(S)\) względem \(t\). Rachunek takich funkcji jest analogiczny do rachunku funkcji rzeczywistych. W tym duchu wiążemy z półgrupą jej transformata Laplace’a \[\begin{equation} U(\alpha)f = \int_0^\infty e^{-\alpha t} T_tf \, \mathrm{d} t, \quad \alpha > 0, \tag{10} \end{equation}\] która nazywana jest rezolwentą półgrupy. Funkcję \(U(\alpha)f\) można interpretować jako całkę Bochnera pojawiającą się po prawej stronie (10). Można też równoważnie myśleć, że jest to funkcja \(S \to \mathbb{R}\) zadana przez \[\begin{equation*} U(\alpha)f(x) = \int_0^\infty e^{-\alpha t} T_tf(x) \, \mathrm{d} t, \quad x \in S. \end{equation*}\] W każdym razie całka w (10) jest dobrze określona, ponieważ funkcja \(t \mapsto e^{-\alpha t} T_tf\) jest ciągła oraz \[ \|e^{-\alpha t} T_tf\| \leq e^{-\alpha t} \|f\|. \] Zauważmy też, że \(U(\alpha)\) jest operatorem liniowym na \(C_0(S)\) i spełnia \[ \|U(\alpha)f\| \leq \|f\|/\alpha. \]

Zadanie 8 Pokaż, że dla każdego \(f \in C_0(S)\), \[ \lim_{\alpha \to \infty} \alpha U(\alpha) f = f. \]

Własność półgrupy przekłada się na następującą użyteczną relację, znaną jako równanie rezolwenty: \[\begin{equation} U(\alpha) - U(\beta) = (\beta - \alpha) U(\alpha) U(\beta). \tag{11} \end{equation}\] Aby to sprawdzić, weźmy \(\alpha \neq \beta\) i zapiszmy \[\begin{multline} U(\alpha) U(\beta) f = \int_0^\infty e^{-\alpha t} T_t U(\beta) f \, \mathrm{d} t = \int_0^\infty e^{-\alpha t} \left( \int_0^\infty e^{-\beta s} T_t T_s f \, \mathrm{d} s \right) \mathrm{d} t\\ = \int_0^\infty \int_0^r e^{-\alpha t} e^{-\beta (r-t)} \, \mathrm{d} t T_r f\mathrm{d} r = \int_0^\infty \frac{e^{-\alpha r} - e^{-\beta r}}{\beta - \alpha} T_r f \mathrm{d} r. \tag{12} \end{multline}\]

Jedną z konsekwencji (11) jest to, że \(U(\alpha)\) i \(U(\beta)\) komutują.