Wykład 5: od generatora do półgrupy

2024-10-31

Piotr Dyszewski

O notacji słów kilka

Twierdzenie 11 Przy oznaczeniach Twierdzenia 10, dla \(f \in C_0(S)\) oraz \(t > 0\), \[ \lim_{n \to \infty} \left(I - \frac{t}{n} L\right)^{-n} f = T_tf. \]

Proof. Sprawdzamy indukcyjnie, że \[ \left(I - \alpha^{-1} L\right)^{-n} f = \alpha^n U^n(\alpha)f = \int_0^{\infty} \alpha^n s^{n-1} e^{-\alpha s} T(s)f \, \mathrm{d}s. \] Stąd \[\begin{equation} \left( I - \frac{t}{n} L \right)^{-n} f = \mathbb{E} T \left( (\xi_1 + \cdots + \xi_n) t/n \right) f, \tag{18} \end{equation}\] gdzie \(\xi_1, \xi_2, \ldots\) są niezależnymi zmiennymi o standardowym rozkładzie wykładniczym. Zauważmy, że funkcja \((s, x) \to T(s)f(x)\) jest ciągła, więc wartość oczekiwana w (18) jest dobrze określona.

Jeśli \(f \in \mathcal{D}(L)\), to \[\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} T_t f = T_t Lf \end{equation*}\] co w notacji całkowej zapisuje się jako \[\begin{equation*} T_tf-T_sf = \int_s^t T_r Lf \mathrm{d}r. \end{equation*}\] Skoro \(\|T_r \| \leq 1\), to ostatnia nierówność implikuje, że \[ \| T(t)f - T(s)f \| \leq \| Lf \| |t - s|. \] Wracając teraz do (18) otrzymujemy \[ \left\| \left( I - \frac{t}{n} L \right)^{-n} f - T(t)f \right\| \leq t \| Lf \| \mathbb{E} \left| \frac{\xi_1 + \cdots + \xi_n}{n} - 1 \right|. \] Rezultat dla \(f \in \mathcal{D}(L)\) wynika teraz z prawa wielkich liczb. Jest on prawdziwy dla wszystkich \(f \in C_0(S)\), ponieważ wszystkie rozważane operatory są kontrakcjami.

Remark. Formalnie, \(T_t = \exp(tL)\). Kiedy \(L\) jest ograniczone, istnieją przynajmniej trzy sposoby definiowania tego wykładnika: \[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(tL)^k}{k!}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(I + \frac{t}{n} L\right)^n, \quad \text{ i } \quad \lim_{n \to \infty} \left(I - \frac{t}{n} L\right)^{-n}. \] Ostatni z nich jest jedynym, który ma sens w przypadku nieograniczonym.

Teraz rozważmy kilka przykładów.

Zadanie 10 Rozważmy proces Fellera polegający na jednostajnym ruchu w prawo. Niech \(S=\mathbb{R}\) i niech \(\mathbf{P}_x\) jest punktową masą na ścieżce \(\omega_x\) danej przez \(\omega_x(t) = x + t\), lub równoważnie, proces z półgrupą \(T(t)f(x) = f(x + t)\). Pokaż, że generatorem \(L\) tego procesu jest ten opisany w Zadaniu~\(\ref{zad:3:13}\). Upewnij się, że dziedzina dana jest dokładnie przez dziedzinę \(L\).

Przykład 4 W przypadku ruchu Browna, można zweryfikować, że \[ U(\lambda) f(x) = \int u_\lambda(y - x) f(y) \, dy \] gdzie \[ u_\lambda(y - x) = \int_0^\infty (2 \pi t)^{-1/2} \exp\left(-\frac{|y - x|^2}{2t} - \lambda t\right) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{2 \lambda}} \exp(-|y - x| \sqrt{2 \lambda}). \] Elegancki sposób na uzyskanie tej ostatniej równości polega na użyciu wzoru \(\mathbb{E}[e^{-\lambda T_a}] = e^{-a \sqrt{2 \lambda}}\) dla transformaty Laplace’a czasu trafienia \(a > 0\) przez rzeczywisty ruch Browna rozpoczęty z \(0\). Różniczkując względem \(\lambda\), otrzymujemy \[ \mathbb{E}\left[T_a e^{-\lambda T_a}\right] = \frac{a}{\sqrt{2 \lambda}} e^{-a \sqrt{2 \lambda}}, \] i używając gęstości \(T_a\), aby przekształcić \(\mathbb{E}[T_a e^{-\lambda T_a}]\), dokładnie znajdujemy całkę, która pojawia się w obliczeniach \(u_\lambda(y - x)\).

Wiemy, że półgrupa operatorów związana z ruchem Browna jest półgrupą Fellera. Znajdziemy jej generator \(L\). Widzieliśmy, że dla każdego \(\lambda > 0\) i \(f \in C_0(\mathbb{R})\), \[ U(\lambda) f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{2 \lambda}} \exp(-\sqrt{2 \lambda} |y - x|) f(y) \, \mathrm{d}y. \] Jeśli \(h \in \mathcal{D}(L)\), wiemy, że istnieje \(f \in C_0(\mathbb{R})\) takie, że \(h = U(\lambda) f\). Przyjmując \(\lambda = 1/2\), mamy \[ h(x) = \int \exp(-|y - x|) f(y) \, \mathrm{d}y. \] Różniczkując pod znakiem całki (pozostawiamy uzasadnienie jako zadanie), otrzymujemy, że \(h\) jest różniczkowalna na \(\mathbb{R}\), i \[ h'(x) = \int \operatorname{sgn}(y - x) \exp(-|y - x|) f(y) \, \mathrm{d}y \] gdzie \(\operatorname{sgn}(z) = 1_{\{z > 0\}} - 1_{\{z < 0\}}\) (wartość \(\operatorname{sgn}(0)\) jest nieistotna). Pokażmy również, że \(h'\) jest różniczkowalna na \(\mathbb{R}\). Niech \(x_0 \in \mathbb{R}\). Następnie, dla \(x > x_0\), \[\begin{align*} h'(x) - h'(x_0) = & \int_{\mathbb{R}} \left( \operatorname{sgn}(y - x) \exp(-|y - x|) - \operatorname{sgn}(y - x_0) \exp(-|y - x_0|) \right) f(y) \, \mathrm{d}y \\ =& \int_{x_0}^x \left( -\exp(-|y - x|) - \exp(-|y - x_0|) \right) f(y) \, \mathrm{d}y \\ &+ \int_{\mathbb{R} \setminus [x_0, x]} \operatorname{sgn}(y - x_0) \left( \exp(-|y - x|) - \exp(-|y - x_0|) \right) f(y) \, \mathrm{d}y. \end{align*}\] Wynika stąd, że \[ \frac{h'(x) - h'(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow{x \downarrow x_0} -2f(x_0) + h(x_0). \] Otrzymujemy tę samą granicę, gdy \(x \uparrow x_0\), i stąd uzyskujemy, że \(h\) jest dwukrotnie różniczkowalna oraz \(h'' = -2f + h\).

Z drugiej strony, ponieważ \(h = U(1/2)f\), \[ \left(\frac{1}{2} - L\right) h = f \] stąd \(Lh = -f + h/2 = h''/2\). Podsumowując, uzyskaliśmy, że \[ \mathcal{D}(L) \subset \{ h \in C^2(\mathbb{R}) : h \text{ i } h'' \in C_0(\mathbb{R}) \} \] i że, jeśli \(h \in \mathcal{D}(L)\), mamy \(Lh = h''/2\).

Ostatnie zawieranie jest w rzeczywistości równością. Aby to zobaczyć, możemy postąpić następująco. Jeśli \(g\) jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną taką, że \(g\) oraz \(g''\) należą do \(C_0(\mathbb{R})\), wtedy przyjmujemy \(f = \frac{1}{2}(g - g'') \in C_0(\mathbb{R})\), a więc \(h = U(1/2)f \in \mathcal{D}(L)\). Z poprzedniego argumentu wynika, że \(h\) jest dwukrotnie różniczkowalna oraz \(h'' = -2f + h\). Stąd \((h - g)'' = h - g\). Ponieważ funkcja \(h - g\) należy do \(C_0(\mathbb{R})\), musi zanikać tożsamościowo, co daje \(g = h \in \mathcal{D}(L)\).

Patrząc na Zadanie 9 i Przykład 4, można by się zastanawiać, czy pochodne wyższego rzędu mogą być generatorami infinitezymalnymi. Odpowiedź brzmi, że nie mogą. Główny problem polega na tym, że gdy gładka funkcja osiąga minimum w punkcie wewnętrznym swojej dziedziny, pierwsza pochodna jest zerowa, a druga pochodna jest tam nieujemna. Nic nie można powiedzieć o znakach innych pochodnych w tym miejscu.

Zadanie 11 Pokaż, że nie istnieje generator prawdopodobieństwa, którego ograniczenie do gładkich funkcji jest dane przez \(Lf = f'''\).

Od generatora do procesu

W całym tym rozdziale \(L\) będzie generatorem infinitezymalnym. Naszym pierwszym zadaniem jest skonstruowanie odpowiadającej półgrupy prawdopodobieństwa. Aby to zrobić, wprowadzamy aproksymację \(L_\epsilon\) do \(L\) dla małego dodatniego \(\epsilon\) przez \[ L_\epsilon = L(I - \epsilon L)^{-1}. \] Zauważmy, że jest to dobrze zdefiniowane z definicji generatora infinitezymalnego, ponieważ \(\mathcal{R}(I - \epsilon L) = \mathcal{D}(L)\). To łatwo zobaczyć z \[ f - \epsilon L f = g \quad \text{jest równoważne} \quad f = (I - \epsilon L)^{-1} g. \] Ponadto \[ \|L_\epsilon g\| = \|L f\| \leq \frac{\|f\| + \|g\|}{\epsilon} \leq \frac{2}{\epsilon} \|g\|, \] więc \(L_\epsilon\) jest ograniczonym operatorem. To pozwala zdefiniować \(T_\epsilon(t)\) przez \[ T_\epsilon(t) = e^{tL_\epsilon} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n L_\epsilon^n}{n!}. \]

Zadanie 12

• (a) Pokaż, że dla każdego \(f \in C_0(S)\), \[\begin{equation} (I - \epsilon L)^{-1} f - \epsilon L f = f. \tag{19} \end{equation}\]
• (b) Użyj części (a), aby pokazać, że \(L_\epsilon\) jest generatorem infinitezymalnym oraz że \(T_\epsilon(t)\) jest półgrupą prawdopodobieństwa, której generatorem jest \(L_\epsilon\) w sensie Twierdzenia 10.

Twierdzenie 12 Dla \(f \in C_0(S)\), \[ T(t)f = \lim_{\epsilon \to 0} T_\epsilon(t) f \] jednostajnie na ograniczonych przedziałach \(t\). Definiuje to półgrupę Fellera, której generatorem jest \(L\) w sensie Twierdzenia 10.

Najpierw sprawdzamy, że \(L_\epsilon\) i \(L_\delta\) komutują dla \(\epsilon, \delta > 0\). Wynika to z @ref{eq:3-19} oraz \[ (I - \epsilon L)^{-1} (I - \delta L)^{-1} = (I - \delta L)^{-1} (I - \epsilon L)^{-1}, \] co jest prawdziwe, ponieważ \[ (I - \epsilon L)^{-1} (I - \delta L)^{-1} f = g \quad \text{jest równoważne} \quad f = g - (\epsilon + \delta)Lg + \epsilon \delta L^2 g, \] co jest symetryczne w \(\epsilon\) i \(\delta\).