Wykład 11: The voter model: przypadek rekurencyjny
2024-12-19
Piotr Dyszewski
Zobaczymy teraz korzyści płynące z udowodnionej właśnie dualności. Jeżeli \((\eta_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest układem spinowym, to dla \(A \subseteq V\) oraz miary probabilistycznej \(\mu\) na \(\{0,1\}\) prawdopodobieństwo \[\mathbf{P}_\mu \left[\eta_t \equiv 1 \text{ na } A\right]\] zależy od \(\mu\) w skomplikowany sposób. W przypadku modelu głosowania, możemy wykorzystać proces dualny do wyznaczenia wygodnej reprezentacji \[\begin{multline*} \mathbf{P}_\mu\left[ \eta_t \equiv 1 \text{ na } A\right] = \int \mathbf{E}_\eta H(\eta_t, A) \, \mu (\mathrm{d}\eta) = \int \mathbf{E}_A H(\eta, A_t) \, \mu(\mathrm{d} A) \\ = \int \left[\sum_{B} \mathbf{P}_A[A_t = B] H(\eta, B)\right] \mu(\mathrm{d}\eta) = \sum_{B} \mathbf{P}_A[A_t = B] \mu \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } B\}. \end{multline*}\] Dlatego rozkład łączny \((\eta_t(x))_{x \in A}\) zależy tylko od rozkładów \(|A|\) współrzędnych względem rozkładu początkowego \(\mu\). Załóżmy teraz, że początkowy rozkład dla modelu głosowania to miara produktowa \(\nu_\rho\) dla \(\rho \in [0,1]\) względem której wszystkie współrzędne są niezależne i mają rozkład \((1-\rho)\delta_0 +\rho\delta_1\). Wówczas \[\nu_\rho \{\eta : \eta \equiv 1 \text{ na } A\} = \rho^{|A|}.\] Mamy \[\mathbf{P}_{\nu_\rho}[\eta_t(x) = 1] = \mathbf{P}_{\nu_\rho}[\eta_t \equiv 1 \text{ na } \{x\} ] = \sum_{y \in V} \mathbf{P}_{\{x\}} [A_t = \{y\}] \rho = \rho\] oraz \[\begin{multline*} \mathbf{P}_{\nu_\rho}[\eta_t(x) = \eta_t(y) = 1] = \mathbf{P}_{\nu_\rho}(\eta_t \equiv 1 \text{ na } \{x,y\})\\ = \rho \mathbf{P}_{\{x,y\}}[|A_t|=1] + \rho^2 \mathbf{P}_{\{x,y\}}[|A_t|=2]. \end{multline*}\] Opinie \(\eta_t(x)\) i \(\eta_t(y)\) stają się zgodne w granicy \(t \to \infty\) wtedy i tylko wtedy, gdy dwie niezależne kopie łańcucha spotykają się z prawdopodobieństwem 1. Tę ogólną zasadę zilustrujemy na przykładzie \(V = \mathbb{Z}^d\).
The Voter model na \(\mathbb{Z}^d\)
Naszym głównym zastosowaniem dualności będzie znalezienie wszystkich rozkładów stacjonarnych dla modelu głosowania. Podobna analiza może być użyta do określenia jego asymptotycznego zachowania, gdy \(t \to \infty\). Dla uproszczenia, zakładamy od tej pory, że \(S = \mathbb{Z}^d\). Zakładać też będziemy, że kroki stowarzyszonego łańcucha są niezmiennicze na przesunięcia, czyli przejścia z \(x_1 \in \mathbb{Z}^d\) oraz przejścia z \(x_2\in\mathbb{Z}^d\) dzieją się z takimi samymi intensywnościami. Wówczas \(q(x, y) = q(0, y - x)\). Niech \(X_i = (X_i(t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) dla \(i\in \mathbb{N}\) będą niezależnymi błądzeniami losowymi z intensywnościami przejść \(q(x, y)\) i punktami początkowymi \(x_1, x_2, \dots\). Analiza dzieli się na dwa przypadki, w zależności od tego, czy symetryzowane błądzenie losowe \(Z(t) = X_1(t) - X_2(t)\) jest rekurencyjne czy przejściowe, ponieważ odpowiada to sytuacji, czy \(X_1(t)\) i \(X_2(t)\) spotykają się z prawdopodobieństwem jeden.
Przypadek rekurencyjny
Zaczniemy od przypadku rekurencyjnego, w którym model głosowania jest prostszy w analizie. Niech \(\delta_\mathbf{0}\) i \(\delta_\mathbf{1}\) będą miarami probabilistycznymi na układach na \(\mathbb{Z}^d\) skupionymi na odpowiednio \(\eta \equiv 0\) oraz \(\eta \equiv 1\).
Twierdzenie 17 Załóżmy, że symetryzowane błądzenie losowe \(Z\) jest rekurencyjne.
Dla każdego \(\eta\) oraz \(x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^d\), \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_\eta[\eta_t(x_1) \neq \eta_t(x_2)] = 0.\]
Każda miara stacjonarna dla \((\eta_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest postaci \(\lambda \delta_\mathbf{1} + (1-\lambda) \delta_\mathbf{0}\) dla pewnej \(\lambda \in [0,1]\).
Dla miary probabilistycznej \(\mu\) oraz \(\lambda \in [0,1]\), \[\begin{equation} \lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_\mu[(\eta_t(x_j))_{j \leq n} = (\epsilon_j)_{j \leq n}] = \lambda \mathbf{1}_{\{ \epsilon_1=\ldots =\epsilon_n=1\}} + (1 - \lambda)\mathbf{1}_{\{\epsilon_1=\ldots = \epsilon_n=0\}} \tag{39} \end{equation}\] dla każdych \(x_j\) i \(\epsilon_j\), wtedy i tylko wtedy, gdy \[\begin{equation} \lim_{t \to \infty} \sum_y p_t(x, y) \mu \{\eta : \eta(y) = 1\} = \lambda \text{ dla każdego } x \in \mathbb{Z}^d, \tag{40} \end{equation}\] gdzie \(p_t(x, y)\) są prawdopodobieństwami przejścia dla \(X_i(t)\).
Punkt (a) mówi, że dla dowolnego skończonego \(A \subseteq \mathbb{Z}^d\) opinie \((\eta_t(x))_{x \in A}\) stają się zgodne z bardzo dużym prawdopodobieństwem. Oznacza to, że jedyne możliwe układy graniczne są stałe (punkt (b)). Prawdopodobieństwa wystąpienia w granicy poszczególnych układów stałych są scharakteryzowane w punkcie (c). W szczególności pierwsza granica w punkcie (c) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje druga. Warunek (39) jest równoważny \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_\mu[\eta_t \in \cdot ] = \lambda \delta_\mathbf{1}(\cdot) + (1 - \lambda)\delta_\mathbf{0}(\cdot)\] w sensie słabej zbieżności miar. Dokładniej dla każdej \(f \in C(\{ 0,1\}^{\mathbb{Z}^d}\), \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{E}_{\mu}[f(\eta_t)] = \lambda f(\mathbf{1}) + (1-\lambda)f(\mathbf{0}).\] Dzieje się tak, ponieważ topologia słabej zbieżności na przeliczalnym produkcie jest scharakteryzowana przez zbieżność rozkładów skończenie wymiarowych.
Proof. Aby uzasadnić punkt (a) rozważmy \[\tau = \inf\{t > 0 : X_1(t) = X_2(t)\} = \inf\{t > 0 : Z(t) = 0\}.\] Wówczas dla dowolnej konfiguracji początkowej \(\eta\), \[\mathbf{P}_\eta[\eta_t(x_1) \neq \eta_t(x_2)] = \mathbb{P}[\eta(X_1(t)) \neq \eta(X_2(t))), \tau > t] \leq \mathbb{P}[\tau > t],\] co zbiega do zera, gdy \(t \to \infty\), z założenia rekurencyjności \(Z\).
Dla części (b), weźmy \(\pi\) stacjonarną dla \((\eta_t)_{t\in \mathbb{R}}\). Wtedy \[\pi [\eta : \eta(x_1) \neq \eta(x_2)] = \mathbf{P}_\pi[ \eta(x_1) \neq \eta(x_2)] = \int \mathbf{P}_\eta[\eta_t(x_1) \neq \eta_t(x_2)] \mu (\mathrm{d} \eta),\] co zbiega do zera, gdy \(t \to \infty\), z części (a). Dlatego \(\eta\) jest stała \(\pi\)-prawie wszędzie. Dla dowodu części (c) weźmy dowolny rozkład początkowy \(\mu\). Chcąc pokazać, że rozkład graniczny jest stały wystarczy porównać go z dowolnym ustalonym punktem. Dla \(x_1 \in \mathbb{Z}^d\), \[\begin{multline} \mathbf{P}_\mu[\eta_t(x_1) = 1] = \int \mathbf{P}_\eta[\eta_t(x_1) = 1] \, \mu(\mathrm{d}\eta) = \\ \int \mathbb{P}[\eta(X_1(t)) = 1] \, \mu (\mathrm{d}\eta) = \sum_y p_t(x_1, y) \mu (\eta : \eta(y) = 1). \end{multline}\] Dla dowolnego skończonego \(A \subseteq \mathbb{Z}^d\) takiego, że \(x_1 \in A\), \[\mathbf{P}_\mu [\eta_t(x_1) = 1] - \mathbf{P}_{\mu}[\eta_t \equiv 1 \text{ na } A] = \int \mathbf{P}_\eta [\eta_t(x_1) = 1] - \mathbf{P}_{\eta}[\eta_t \equiv 1 \text{ na } A] \mu(\mathrm{d}\eta).\] Co z części (a) zbiega do zera. Mamy zatem \[\sum_y p_t(x_1, y) \mu (\eta : \eta(y) = 1) = o(1) + \mathbf{P}_{\mu}[\eta_t \equiv 1 \text{ na } A].\] Stąd (39) oraz (40) istotnie są równoważne.
Remark. Biorąc pod uwagę stwierdzenie z części (a), można przypuszczać, że \(\eta_t(x)\) zmienia wartości tylko skończoną liczbę razy dla każdego \(x\). Nie zawsze jest to prawdą. Załóżmy na przykład, że \(d=1\), \(q(x, y) = 1\) jeśli \(|x - y| = 1\), a \(q(x, y) = 0\) jeśli \(|x - y| > 1\). Jeśli początkowa konfiguracja ma formę \(\dots 1 1 1 0 0 0 \dots\), to konfiguracja w czasie \(t\) ma ten sam tym, z dokładnością do lokalizacji najbardziej wysuniętej na prawo jedynki, która porusz się zgodnie z prostym symetrycznym spacerem losowym na \(\mathbb{Z}\). Ponieważ to błądzenie losowe jest rekurencyjne, \(\eta_t(x)\) zmienia wartości nieskończoną liczbę razy.
Symulacja modelu głosowania w jednym wymiarze. Warunek początkowy jest postaci 11110000. W momencie, w którym cały zakres staje się monochromatyczny jest on automatycznie rozszerzany na prawo o 0000 i lewo o 111111.