Lista 5. Zmienne losowe

Na ćwiczenia 5.11.2026

Zadania na ćwiczenia

Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$. Niech $X$ będzie sumą wylosowanych liczb. Wyznacz rozkład oraz wartość oczekiwaną $X$.
Oblicz $\mathbb{E}[X]$ jeżeli $X$ jest zmienną o rozkładzie Poi($\lambda$).
Zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny $\{ 1,2, \ldots n \}$, czyli \[\begin{equation*} \mathbb{P}[X=j] = \frac 1n, \quad j=1,2,\ldots, n. \end{equation*}\] Obliczyć $\mathbb{E}[Y]$ jeżeli
1. $Y = e^X$,
2. $Y = X^2$.
Monika wybrała się do kasyna w Las Vegas mając przy sobie 255$. Jako cel postawiła sobie wygranie $1$ dolara w ruletkę i wyjście z kasyna z kwotą 256$. Podczas tej wizyty obstawiała kolory. Wszystkie pola poza 0 i 00 są czerwone lub czarne (po 18 pól). Poprawne wskazanie koloru (z prawdopodobieństwem 18/38) podwaja zaryzykowaną kwotę. Monika zastosowała następującą strategię: postanowiła, że będzie grać kolejno o 1$, 2$, 4$, 8$, 16$, 32$, 64$, 128$. Jeżeli w jednej z gier wygra, zabiera nagrodę i opuszcza kasyno z 256 dolarami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jej się powiodło. Obliczyć wartość oczekiwaną wygranej.
Uzasadnij, że
1. Jeżeli $X(\omega) =a$ dla pewnej $a \in \mathbb{R}$ i wszystkich $\omega \in \Omega$, to $\mathbb{E}[X]=a$.
2. Jeżeli zmienne losowe $X$ i $Y$ spełniają $X(\omega) \leq Y(\omega)$ dla każdej $\omega \in \Omega$, to $\mathbb{E}[X] \leq \mathbb{E}[Y]$.
Rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy wszystkie oczka. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby rzutów.
Na płaszczyźnie zaznaczono $n$ punktów w taki sposób, że żadne trzy nie są współliniowe. Każda para punktów, niezależnie od pozostałych, została połączona odcinkiem z prawdopodobieństwem $p$. Niech $X$ oznacza liczbę powstałych trójkątów. Oblicz $\mathbb{E}X$.
W urnie znajduje się 50 białych kul. Losujemy ze zwracaniem po jednej kuli, przy czym wyciągniętą kulę malujemy na czerwono, jeśli jest biała. Niech $X$ będzie liczbą czerwonych kul w urnie po 20 losowaniach. Obliczyć $\mathbb{E}[X]$.
Pokaż, że jeżeli zmienna losowa $X$ przyjmuje tylko wartości całkowite nieujemne, to \[\begin{equation*} \mathbb{E}[X] = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}[X \geq k]. \end{equation*}\]

Zadania kartkówkowe

Rzucamy niezależnie symetryczną sześcienną kostką aż do otrzymania pierwszej jedynki. Zmienna losowa $X$ oznacza liczbę wykonanych rzutów, łącznie z rzutem, w którym wypadła pierwsza jedynka.
1. Znajdź $\mathbb{E}[X]$.
2. Niech $Y=2^{-X}$. Znajdź $\mathbb{E}[Y]$.
Rzucamy niezależnie dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami. Zmienna losowa $X$ oznacza większy z uzyskanych wyników.
1. Znajdź $\mathbb{E}[X]$.
2. Niech $Y=(-1)^X$. Znajdź $\mathbb{E}[Y]$.
Zmienna losowa $X$ ma rozkład \[ \mathbb{P}[X=k]=\frac{k}{21},\qquad k=1,2,\ldots,6. \]
1. Znajdź $\mathbb{E}[X]$.
2. Niech $Y=\frac{1}{X}$. Znajdź $\mathbb{E}[Y]$.
Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Rzuty są niezależne. Zmienna losowa $X$ oznacza liczbę uzyskanych orłów.
1. Znajdź $\mathbb{E}[X]$.
2. Niech $Y=2^X$. Znajdź $\mathbb{E}[Y]$.