Lista 3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Zadania na ćwiczenia 22.10.2026

Zadania na ćwiczenia

  1. Dwoje graczy, Maciek i Dawid, dostało po \(13\) kart z \(52\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że Maciek nie ma asa jeżeli Maciek zobaczył przypadkowo u Dawida

    1. asa pik,
    2. jakiegoś asa czarnego koloru,
    3. jakiegoś asa.

  2. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

  3. Podaj przykłady zdarzeń takich, że

    1. \(\mathbb{P}[A|B] < \mathbb{P}[A]\),
    2. \(\mathbb{P}[A|B] = \mathbb{P}[A]\)
    3. \(\mathbb{P}[A|B] > \mathbb{P}[A]\).

  4. Mamy dwie urny i \(50\) kul. Połowa z kul jest biała, a połowa czarna. Jak rozłożyć kule do urn, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana kula z losowej urny jest biała (najpierw losujemy urnę, a potem z wybranej urny losujemy kulę)?

  5. Naczelnik więzienia postanowił uwolnić jednego z trzech więźniów, o czym dowiedzieli się zainteresowani, ale nie dowiedzieli się, który z nich będzie wolny. Więzień \(A\) ma wśród strażników znajomego, który to wie. Chce go zapytać, ale krępuje się pytać o siebie. Pyta więc o imię jednego z więźniów (różnego od niego), który ma pozostać w więzieniu. Przed zadaniem pytania ocenia, że każdy z nich ma szansę wyjścia równą \(1/3\). Myśli, że jeśli strażnik powie na przykład, że zostaje \(B\), to jego szanse rosną do \(1/2\) (bo zostanie uwolniony \(A\) lub \(C\)). Czy popełnia błąd?

  6. Podaj przykład zdarzeń \(A\), \(B\) i \(C\), dla których \[ \mathbb{P}[A\mid B]<\mathbb{P}[A\mid B^c], \] a jednocześnie \[ \begin{aligned} \mathbb{P}[A\mid B\cap C] &\geq \mathbb{P}[A\mid B^c\cap C],\\ \mathbb{P}[A\mid B\cap C^c] &\geq \mathbb{P}[A\mid B^c\cap C^c]. \end{aligned} \] Słownie można sformułować paradoks w następujący sposób: może się zdarzyć, że w mieście \(X\) umieralność chorych na gruźlicę jest większa niż w mieście \(Y\), a jednocześnie zarówno wśród kobiet, jak i wśród mężczyzn chorych na gruźlicę umieralność jest większa w mieście \(Y\).

  7. Przypuśćmy, że \(1/20\) wszystkich kości do gry jest sfałszowana i zawsze wypada na nich szóstka. Wybieramy losowo trzy kostki i rzucamy nimi. Oblicz

    1. prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 18 oczek;
    2. prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna kostka była sfałszowana, jeżeli wyrzuciliśmy 18 oczek;

  8. W populacji jest \(15\%\) dyslektyków. Jeżeli w teście diagnostycznym uczeń popełni \(6\) lub więcej błędów, to zostaje uznany za dyslektyka. Każdy dyslektyk na pewno popełni co najmniej \(6\) błędów. Również nie-dyslektyk może popełnić co najmniej \(6\) błędów i dzieje się to z prawdopodobieństwem \(0,1\). Jasiu popełnił \(6\) błędów. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest dyslektykiem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w kolejnym teście też popełni co najmniej \(6\) błędów?

Zadania kartkówkowe

  1. W pierwszej urnie znajdują się \(3\) kule białe i \(1\) czarna, a w drugiej \(1\) kula biała i \(1\) czarna. Losujemy jedną z urn z jednakowym prawdopodobieństwem, a następnie jedną kulę z wybranej urny.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

    b. Wylosowano białą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z pierwszej urny?

    Odpowiedź

    a. \(\frac12\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac12=\frac58\)

    b. \(\frac{\frac12\cdot\frac34}{\frac58}=\frac35\)

  2. Mamy dwie kostki. Pierwsza jest standardową symetryczną kostką sześcienną, natomiast na drugiej ściankach znajdują się liczby \(1,2,3,6,6,6\). Losujemy jedną z kostek z jednakowym prawdopodobieństwem i wykonujemy nią jeden rzut.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki?

    b. Wypadła szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucano drugą kostką?

    Odpowiedź

    a. \(\frac12\cdot\frac16+\frac12\cdot\frac12=\frac13\)

    b. \(\frac{\frac12\cdot\frac12}{\frac13}=\frac34\)

  3. W pewnej skrzynce pocztowej \(20\%\) wiadomości stanowi spam. Filtr antyspamowy poprawnie rozpoznaje wszystkie wiadomości będące spamem, ale błędnie oznacza jako spam również \(25\%\) zwykłych wiadomości.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana wiadomość zostanie oznaczona jako spam?

    b. Wiadomość została oznaczona jako spam. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jest spamem?

    Odpowiedź

    a. \(0{,}2\cdot 1+0{,}8\cdot0{,}25=0{,}4\)

    b. \(\frac{0{,}2\cdot1}{0{,}4}=\frac12\)

  4. Fabryka produkuje śrubki na dwóch maszynach. Maszyna A produkuje \(75\%\) wszystkich śrubek, a maszyna B pozostałe \(25\%\). Wśród śrubek produkowanych przez maszynę A \(10\%\) jest wadliwych, a wśród śrubek produkowanych przez maszynę B \(30\%\) jest wadliwych.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana śrubka jest wadliwa?

    b. Wylosowano wadliwą śrubkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że została wyprodukowana przez maszynę B?

    Odpowiedź

    a. \(0{,}75\cdot0{,}1+0{,}25\cdot0{,}3=0{,}15\)

    b. \(\frac{0{,}25\cdot0{,}3}{0{,}15}=\frac12\)