Lista 1. Przestrzenie zdarzeń elementarnych

Zadania na ćwiczenia 8.10.2026

1. Rzucamy kością sześcienną, a następnie dwukrotnie monetą.

   1. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\Omega\), która zachowuje informację o wyniku każdego rzutu. Ile ma ona elementów?
   2. Zapisz jako podzbiory \(\Omega\) następujące zdarzenia:
      • \(A\): na kości wypadła szóstka, a na monecie co najmniej jeden orzeł;
      • \(B\): na kości wypadła liczba parzysta, a w drugim rzucie monetą orzeł;
      • \(C\): na kości wypadła liczba mniejsza niż \(5\), a na monecie co najmniej jeden orzeł.
   3. Przyjmij, że wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne. Oblicz \(\mathbb P[A]\), \(\mathbb P[B]\) i \(\mathbb P[C]\).

2. Za jednymi z czworga drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy. Uczestnik wybiera jedne drzwi z jednakowym prawdopodobieństwem. Prowadzący zna położenie samochodu i otwiera jedne z niewybranych drzwi, za którymi jest koza. Jeśli ma kilka możliwości, wybiera spośród nich z jednakowym prawdopodobieństwem. Zawsze proponuje zmianę wyboru.

   1. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej, jeśli uczestnik pozostaje przy swoim wyborze?
   2. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej, jeśli uczestnik zmienia wybór na jedne z dwojga pozostałych zamkniętych drzwi, wybierając między nimi z jednakowym prawdopodobieństwem?

3. Rzucamy dwiema rozróżnialnymi kośćmi sześciennymi. Każda uporządkowana para wyników ma prawdopodobieństwo \(1/36\).

   1. Opisz przestrzeń wyników, gdy zapisujemy wynik każdej kości osobno.
   2. Opisz przestrzeń wyników, gdy zapisujemy tylko sumę oczek.
   3. W drugim modelu oblicz prawdopodobieństwa wyników \(2\), \(7\) i \(12\). Czy wszystkie możliwe sumy są jednakowo prawdopodobne?
   4. Wybierz wygodniejszy z tych modeli i oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie co najmniej \(10\).

4. Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(\Omega=\{1,2,\ldots,24\}\); każda liczba ma takie samo prawdopodobieństwo. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(2\), a \(B\) że jest podzielna przez \(3\).

   1. Wypisz zbiory \(A\), \(B\), \(A\cap B\), \(A\cup B\) oraz \(A\setminus B\).
   2. Zapisz za pomocą \(A\), \(B\) i działań na zbiorach zdarzenia, że wylosowana liczba jest podzielna:
      • przez co najmniej jedną z liczb \(2\) i \(3\);
      • przez obie te liczby;
      • przez dokładnie jedną z tych liczb;
      • przez żadną z tych liczb.
   3. Oblicz prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń z punktu b).
   4. Niech \(C\) oznacza podzielność przez \(6\). Które ze zdarzeń \(A\), \(B\), \(C\) pociągają inne? Zapisz odpowiednie inkluzje.

5. Generator zwraca jedną z liczb \(1,2,\ldots,6\). Prawdopodobieństwo otrzymania liczby \(k\) ma postać \[ p(k)=ck,\qquad k\in\{1,2,\ldots,6\}, \] gdzie \(c\) jest stałą.

   1. Wyznacz \(c\).
   2. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej, liczby co najmniej \(5\) oraz liczby mniejszej niż \(3\).
   3. Wyjaśnij, dlaczego w tym modelu iloraz \(|A|/|\Omega|\) nie musi być równy \(\mathbb P[A]\). Podaj przykład zdarzenia, dla którego te wartości są różne.

6. Rzucamy monetą do otrzymania pierwszego orła. Uwzględniamy również wynik \(\omega_\infty=RRR\ldots\), w którym orzeł nigdy nie wypada. Przyjmujemy model \[ p(R^{k-1}O)=2^{-k}\quad(k\geq1),\qquad p(\omega_\infty)=0, \] gdzie \(R^{k-1}O\) oznacza \(k-1\) reszek, po których następuje orzeł.

   1. Oblicz prawdopodobieństwo zakończenia doświadczenia najpóźniej w trzecim rzucie.
   2. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwszy orzeł pojawi się w rzucie o numerze parzystym.

7. Niech \(\mathbb{P}\) będzie miarą probabilistyczną na przestrzeni co najwyżej przeliczalnej. Uzasadnij następujące własności dla dowolnych zdarzeń \(A\) i \(B\):

   1. \(\mathbb P[\varnothing]=0\) oraz \(\mathbb P[\Omega]=1\);
   2. \(\mathbb P[A']=1-\mathbb P[A]\);
   3. jeśli \(A\subseteq B\), to \(\mathbb P[A]\leq\mathbb P[B]\);
   4. \(\mathbb P[A\cup B]=\mathbb P[A]+\mathbb P[B]-\mathbb P[A\cap B]\).

8. Za jednymi z \(n\geq3\) drzwi znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy. Uczestnik wybiera jedne drzwi z jednakowym prawdopodobieństwem. Prowadzący zna położenie samochodu i zawsze otwiera dokładnie \(r\) różnych drzwi z kozami, spośród drzwi niewybranych przez uczestnika, gdzie \(1\leq r\leq n-2\). Jeśli ma kilka możliwości, wybiera zestaw otwieranych drzwi z jednakowym prawdopodobieństwem. Zawsze proponuje zmianę.

   1. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej przy pozostaniu przy pierwotnym wyborze.
   2. Uczestnik zmienia wybór na jedne z pozostałych zamkniętych, niewybranych wcześniej drzwi, losując między nimi z jednakowym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej w zależności od \(n\) i \(r\).
   3. Dla \(n=100\) porównaj sytuacje \(r=1\) i \(r=98\). W której z nich zmiana wyboru daje większą szansę wygranej?