Lista 4. Niezależność zdarzeń

Zadania na ćwiczenia 29.10.2026

Zadania na ćwiczenia

  1. Maciek rzuca dwiema kośćmi. Pierwsza kość jest dobrze wyważona. Na drugiej kości szóstka wypada dwa razy częściej niż każda z pozostałych liczb, przy czym wszystkie pozostałe wyniki są jednakowo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie większa niż \(10\)?

  2. Rzucono \(10\) razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania

    1. \(6\) oczek co najmniej raz?
    2. \(5\) oczek dokładnie \(3\) razy?

  3. W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem \(1/6\) wygrywają goście, z prawdopodobieństwem \(1/2\) gospodarze, a z prawdopodobieństwem \(1/3\) będzie remis. Obliczyć prawdopodobieństwo, że

    1. w \(10\) meczach będzie \(6\) zwycięstw gospodarzy i \(4\) remisy
    2. w \(14\) meczach będzie \(7\) zwycięstw gospodarzy i \(3\) remisy.

  4. Adam, Bolek i Czesio rzucają po kolei monetą. Wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla każdego z nich.

  5. Wykonujemy dwa eksperymenty: rzucamy kością, na której liczby parzyste wypadają dwa razy częściej niż liczby nieparzyste (wszystkie parzyste są tak samo prawdopodobne i wszystkie nieparzyste są tak samo prawdopodobne) i losujemy liczbę ze zbioru \(\{1,2, \ldots, 10\}\). Skonstruuj przestrzeń probabilistyczną opisująca wykonanie tych eksperymentów niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma otrzymanych liczb jest mniejsza niż \(5\)?

  6. Rozważmy zdarzenia \(A_1\), …, \(A_n\). Dla \(\epsilon_j \in \{0,1\}\) niech \[\begin{equation*} A_j^{\epsilon_j} = \left\{\begin{array}{cc} A_j & \epsilon_j=0 \\ A_j^c & \epsilon_j=1 \end{array} \right.. \end{equation*}\] Pokaż, że \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) sa niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wyboru \(\epsilon_1, \ldots \epsilon_n\), \(A_1^{\epsilon_1}, \ldots A_n^{\epsilon_n}\) są niezależne.

  7. Zdarzenia \(A_1, A_2, \ldots , A_{2026}\) są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo \(p\). Jaka jest szansa, że zajdzie dokładnie jedno?

  8. Student musi poprawić oceny niedostateczne z dwóch przedmiotów. Szansa poprawienia oceny z pierwszego przedmiotu w jednej próbie wynosi \(p\), a z drugiego — \(q\). Żeby móc poprawić drugą ocenę, trzeba najpierw poprawić pierwszą. Poszczególne próby poprawiania są niezależne. Wiadomo, że po piętnastu próbach poprawiania oceny student jeszcze nie poprawił oceny z drugiego przedmiotu. Jaka jest szansa – pod tym warunkiem – że nie poprawił jeszcze oceny z pierwszego przedmiotu?

  9. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko, w drugim będzie \(k\) zapałek (\(k=0,1,2,\ldots,m\), gdzie \(m\) jest liczbą zapałek w pełnym pudełku; zakładamy, że w chwili początkowej matematyk ma dwa pełne pudełka)?

  10. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w schemacie \(n\) prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie równym \(p\).

Zadania kartkówkowe

  1. Rzucamy czterokrotnie symetryczną kostką. Zakładamy, że wyniki kolejnych rzutów są niezależne.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej raz?

    b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie dwa razy?

    Odpowiedź

    a. \(1-\left(\frac56\right)^4=\frac{671}{1296}\)

    b. \(\binom42\left(\frac16\right)^2 \left(\frac56\right)^2=\frac{25}{216}\)

  2. W meczu piłki nożnej gospodarze wygrywają z prawdopodobieństwem \(\frac12\), goście z prawdopodobieństwem \(\frac16\), a remis pada z prawdopodobieństwem \(\frac13\). Rozpatrujemy trzy niezależne mecze.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gospodarze wygrają wszystkie trzy mecze?

    b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gospodarze wygrają dokładnie dwa mecze, a trzeci zakończy się remisem?

    Odpowiedź

    a. \(\left(\frac12\right)^3=\frac18\)

    b. \(3\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac13=\frac14\)

  3. Komputer składa się z dwóch podzespołów \(A\) i \(B\). Podzespół \(A\) ulega awarii z prawdopodobieństwem \(0{,}2\), natomiast podzespół \(B\) z prawdopodobieństwem \(0{,}3\). Zakładamy, że awarie obu podzespołów są niezależne.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z podzespołów nie ulegnie awarii?

    b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z podzespołów ulegnie awarii?

    Odpowiedź

    a. \(0{,}8\cdot0{,}7=0{,}56\)

    b. \(0{,}2\cdot0{,}7+0{,}8\cdot0{,}3=0{,}38\)

  4. Rzucamy symetryczną monetą i symetryczną kostką. Wyniki obu eksperymentów są niezależne.

    a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie orzeł, a na kostce szóstka?

    b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na monecie wypadnie orzeł lub na kostce szóstka (dopuszczamy jednoczesne wystąpienie obu zdarzeń)?

    Odpowiedź

    a. \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\)

    b. \(\frac12+\frac16-\frac1{12}=\frac7{12}\)