Lista 2. Prawdopodobieństwo klasyczne

Zadania na ćwiczenia 15.10.2026

  1. W pudełku jest \(6\) śrubek dobrych i \(2\) złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze \(4\) śrubek wybierze się \(3\) dobre i \(1\) złą?

  2. Na szachownicy o wymiarach \(n\times n\) umieszczono \(8\) nierozróżnialnych wież, w taki sposób aby żadne dwie się nie biły. Na ile sposobów można to zrobić? Jak zmieni się wynik, gdy wieże będą rozróżnialne?

  3. Na ile sposobów można rozmieścić \(n\) kul w \(k\) urnach jeżeli:

    1. kule są rozróżnialne,
    2. kule są nierozróżnialne.

  4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w potasowanej talii \(52\) kart wszystkie cztery asy znajdują się koło siebie.

  5. W klasie jest \(15\) uczniów. Na każdej lekcji odpytywany jest losowo jeden z nich. Oblicz prawdopodobieństwo, że podczas \(16\) lekcji zostanie przepytany każdy z nich.

  6. Grupa składająca się z \(2n\) pań i \(2n\) panów została podzielona na dwie równoliczne grupy. Znaleźć prawdopodobieństwo, że każda z tych grup składa się z takiej samej liczby pań i panów. Przybliżyć to prawdopodobieństwo za pomocą wzoru Stirlinga.

  7. Uzasadnij, że dla dowolnego \(n\) i dowolnego \(j\), \[\begin{equation*} {n \choose j} + {n \choose j+1} = {n+1 \choose j+1}. \end{equation*}\] Czy potrafisz to zrobić bez wykonywania obliczeń? Zsumuj \[\begin{equation*} \sum_{k=0}^m{n+k \choose j} \end{equation*}\] gdzie \(m,n,j \in \mathbb{N}\) są liczbami naturalnymi. Zapisz \(k^2\) jako \(a_2{k \choose 2 }+ a_1{ k \choose 1} + a_0{k \choose 0}\). Wykorzystaj to do policzenia \(\sum_{k=0}^n{k^2}\)

  8. Wachlarzem rzędu \(n\) nazywamy graf o wierzchołkach \(\{0, 1, \ldots , n\}\) z \(2n-1\) krawędziami zdefiniowanymi następująco: wierzchołek \(0\) połączony jest krawędzią z każdym z pozostałych wierzchołków i wierzchołek \(k\) połączony jest krawędzią z wierzchołkiem \(k+1\) dla każdego \(1 \leq k<n\). Przyjmując \(S_0=0\), ile wynosi \(S_n\) liczba drzew rozpinających na takim grafie? Drzewem rozpinającym nazywamy spójny podgraf bez cykli zawierający wszystkie wierzchołki. Dla przykładu wachlarz rzędu \(5\) wygląda następująco