Skip to main content

Rachunek Prawdopodobieństwa 1R: Notatki do wykładu

Lista 2: Aksjomaty rachunku prawdopodobiemstwa

Zadania na ćwiczenia: 2025-03-03

Zadania do samodzielnego rozwiązania

  1. Ze zbioru \([100]=\{1, \ldots 100 \}\) wylosowano ze zwracaniem dwie liczby \(L\) i \(M\). Zdefiniuj odpowiednią przestrzeń probabilistyczną. Oblicz prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna \(L\) i \(M\) jest ściśle mniejsza niż \(30\).

    \(\Omega = [100]^2\), \(\mathcal{F}=2^\Omega\), \(\mathbb{P}[\{(l,m)\} ]=100^{-2}\). Szukane prawdopodobieństwo to \(58\cdot 59/20000\).

  2. Wybrano losowy punkt \((x,y)\) z kwadratu \([0,1]\times [0,1]\). Zdefiniuj odpowiednią przestrzeń probabilistyczną. Oblicz prawdopodobieństwo, że
    1. \(x\) jest liczbą wymierną;
    2. obie liczby \(x\) i \(y\) są niewymierne;
    3. spełniona jest nierówność \(x^2+y^2 < 1\);
    4. spełniona jest równość \(x^2+y^2 = 1\).

      \(\Omega = [0,1]^2\), \(\mathcal{F} = \mathcal{B}or([0,1]^2)\), \(\mathbb{P}\) jest dwuwymiarową miarą Lebesgue’a. a) 0; b) 1; c) \(\pi/4\); d) 0

  3. W kwadracie \([0,1] \times [0,1]\) wybrano losowo dwa punkty \(A\) i \(B\). Zdefiniuj odpowiednią przestrzeń probabilistyczną. Oblicz prawdopodobieństwo, że
    1. odcinek \(AB\) przecina przekątną łączącą wierzchołki \((0,0)\) i \((1,1)\);
    2. odległość punktu \(A\) od \((1,1)\) jest mniejsza niż 1,
    3. odległość punktu \(B\) od \((1,1)\) jest większa niż 1;
    4. oba punkty leżą pod parabolą \(y = - x(x-1)\).

      \(\Omega = [0,1]^4\), \(\mathcal{F} = \mathcal{B}or([0,1]^4)\), \(\mathbb{P}\) jest czterowymiarową miarą Lebesgue’a. a. \(1/2\) b. \(\pi/4-1/2\) c. 0.715 d. \(1/36\).

  4. Niech \(A \cup B \cup C = \Omega\), \(\mathbb{P}[B] = 2 \mathbb{P}[A]\), \(\mathbb{P}[C] = 3 \mathbb{P}[A]\), \(\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A \cap C] = \mathbb{P}[B \cap C]\). Pokaż, że \(1/6 \leq \mathbb{P}[A] \leq 1/4\), przy czym oba ograniczenia są osiągalne.

    Mamy \(1 = \mathbb{P}[\Omega] \leq \mathbb{P}[A]=\) \(+\mathbb{P}[B]+\mathbb{P}[C] = 6 \mathbb{P}[A]\). Stąd \(\mathbb{P}[A]\geq 1/6\). To ograniczenie jest osiągnięte, jeżeli zbiory \(A\), \(B\) i \(C\) są rozłaczne. Z drugiej strony ze wzoru z wykładu \(1 = \mathbb{P}[\Omega] = 6\mathbb{P}[A]\) \(-3\mathbb{P}[A\cap B]\) \(+ \mathbb{P}[A\cap B\cap C]\) \(\geq 6\mathbb{P}[A]\) \(-2\mathbb{P}[A\cap B]\) \(\geq 4 \mathbb{P}[A]\). Stąd \(\mathbb{P}[A]\leq 1/4\). Ograniczenie to jest osiągnięte kiedy \(A \subseteq B \subseteq C\).

  5. Pokaż, że jeżeli \(\{A_i\}_{i\ge 1}\) jest rodziną zdarzeń takich, że \(\mathbb{P}[A_i]=1\) dla \(i\ge 1\), to \(\mathbb{P}\left[\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right]=1\).

    Jest to wniosek z zadania 6.

Zadania na ćwiczenia

  1. Udowodnij nierówności Boole’a \[ \mathbb{P}\left[\bigcup_{i=1}^n A_i\right] \; \leq \; \sum_{i=1}^n \mathbb{P}[A_i]. \] Wywnioskuj, że \[ \mathbb{P}\left[\bigcap_{i=1}^n A_i\right] \; \geq \; 1- \sum_{i=1}^n \mathbb{P}\left[A_i^c\right]. \]

  2. Udowodnij nierównośc Bonferroniego \[\begin{equation*} \mathbb{P}\left[\bigcup_{i=1}^n A_i\right] \; \geq \; \sum_{i=1}^n \mathbb{P}[A_i] - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbb{P}[A_i \cap A_j] \end{equation*}\]

  3. Udowodnij wzór włączeń i wyłączeń \[\begin{multline*} \mathbb{P}[A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n] = \sum_{i=1}^n\mathbb{P}[A_i]+ \\ -\sum_{i<j}\mathbb{P}[A_i\cap A_j] + \sum_{i<j<k}\mathbb{P}[A_i\cap A_j\cap A_k] \\ + \ldots +(-1)^{n+1} \mathbb{P}[A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_n] \end{multline*}\]

  4. Dziesięć małżeństw usiadło losowo przy okrągłym stole. Oblicz prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie siedzi przy swojej żonie.

  5. Podczas imprezy mikołajkowej wszystkie \(n\) prezentów pozbawiono karteczek z imieniem adresata i losowo rozdano uczestnikom. Niech \(p_n\) oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna osoba dostanie własny prezent. Oblicz \(p_n\) oraz \(\lim_{n \to \infty} p_n\).

  6. Rzucamy symetryczną monetą do chwili otrzymania orła. Zdefiniuj odpowiednią przestrzeń probabilistyczną. Jaka jest szansa, że liczba rzutów będzie parzysta? podzielna przez \(3\)? podzielna przez \(m\)?

  7. Z przedziału \([0,1]\) wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z tych odcinków można skonstruować trójkąt.

  8. Na nieskończoną szachownicę o boku \(a\) rzucamy monetę o średnicy \(2r < a\). Znaleźć prawdopodobieństwo, że

    1. moneta znajdzie się całkowicie we wnętrzu jednego z pól;
    2. moneta przetnie się z co najwyżej jednym bokiem pola na szachownicy.

  9. Igłę o długości \(l\) rzucono na podłogę z desek o szerokości \(a\geq l\). Znajdź prawdopodobieństwo, że igła przetnie krawędź deski.

Zadania dodatkowe

  1. Niech \((\Omega, \mathcal{F})\) będzie przestrzenią mierzalną. Uzasadnij, że \(\sigma\)-ciało \(\mathcal{F}\) nie może być nieskończoną przeliczalną rodziną zbiorów.

  2. Oznaczmy przez \(\mathcal B_0\) ciało składające się ze skończonych sum rozłącznych przedziałów \((a,b]\) zawartych w odcinku \((0,1]\). Określmy na \(\mathcal B_0\) funkcję \(\mathbb{P}\) taką, że \(\mathbb{P}(A) = 1\) lub \(0\) w zależności od tego, czy zbiór \(A\) zawiera przedział postaci \((1/2,1/2+\varepsilon]\) dla pewnego \(\varepsilon>0\), czy też nie. Pokaż, że \(\mathbb{P}\) jest miarą addytywną, ale nie przeliczalnie addytywną.