2 Warunek Kellera

Chcąc lepiej zrozumieć \(\mathrm{Aut}_\mathbb{K}(\mathbb{K}[X])\) spróbujemy poszukać bezpośredniego testu na \(F \in \mathrm{Aut}_\mathbb{K}(\mathbb{K}[X])\). Przypomnijmy, że w \(\mathbb{K}[X]\) mamy operację różniczkowania, która jest zadana na generatorach poprzez \[\begin{equation*} \frac{\partial }{\partial X_i} \left(X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_n^{\alpha_n} \right) = \alpha_j X_1^{\alpha_1}\cdots X_j^{\alpha_j-1} \cdots X_n^{\alpha_n}. \end{equation*}\] Z każdym odwzorowaniem wielomianowym możemy stowarzyszyć jego macierz Jacobiego \[\begin{equation*} JF = \left( \frac{\partial }{\partial X_i} F_j\right)_{i,j}. \end{equation*}\] Podkreślmy fakt, że \(JF\) jest macierzą o wyrazach z \(\mathbb{K}[X]\). Jeżeli \(F\) jest automorfizmem, z odwrotną \(G\), to \[\begin{equation*} G\circ F = X. \end{equation*}\] Różniczkowanie daje \[\begin{equation*} JG(F) \cdot JF = JX = I_{n\times n}. \end{equation*}\] Rozważając wyznaczniki otrzymujemy \[ \det(J G(F)))\,\det(J F)=1. \] Oba powyższe wyznaczniki są wielomianami formalnymi. Oznacza to, że \[\begin{equation*} \det(JF)\in \mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]^{*} = \mathbb{K}^*. \end{equation*}\]

Conjecture 2.1 (Hipoteza jakobianowa) Jeśli \(\det(JF)\in \mathbb{K}^{*}\), to \(F\) jest automorfizmem wielomianowym.

Okazuje się, że powyższa hipoteza nie jest prawdziwa w ciałach o charakterystyce dodatniej.

Zadanie 2.1 Niech \(\mathbb{K} = \mathbb{F}_p\) dla pewnej pierwszej \(p\). Znajdź odwzorowanie wielomianowe \(F\) spełniające \(\det(JF)=1\) które nie jest odwracalne.

Od tej pory będziemy pracować wyłącznie w ciałach o charakterystyce dodatniej. Dla ustalenia uwagi przyjmiemy nawet \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\).

Zauważmy,że zastępując \(F\) przez \(F-F(0)\) możemy bez zmniejszania ogólności założyć, że \(F(0)=0\). Zastępując dalej \(F\) przez \((J F(0))^{-1}F\), możemy też zakładać, że \(J F(0)=Id_{n\times n}\). Oznacza to, że \(F=(F_1, \ldots, F_n)\) jest postaci \[\begin{equation*} F_j = X_j + \text{(wyrazy stopnia}\ \ge 2),\ \ j=1,\dots,n \end{equation*}\]

Twierdzenie 2.1 Dla rozstrzygnięcia hipotezy o jakobianie wystarczy rozważać \(F\in \mathbb{C}[X_1,\dots,X_n]^n\) postaci \[ F_j = X_j - H_j,\qquad j=1,\dots,n, \] gdzie \(H_j\in \mathbb{C}[X_1,\dots,X_n]\) są \(d\)-jednorodne, \(d \in \mathbb{N}\).

Proof. Każdy \(F_j\) możemy zapisać jako \[\begin{equation*} F_j = X_j - M_2 -M_3 - \ldots -M_{d_j}, \end{equation*}\] gdzie każdy \(M_j\) jest jednorodny stopnia \(j\). Ideą redukcji jest wyeliminowanie \(M_2\) poprzez zmyślne podstawienie i zastosowanie indukcji.

Zastanówmy się, co mówi nam jednorodność \(H\) w połączeniu z warunkiem Kellera \(\det(JF)=1\). Mamy \[\begin{equation*} \det\left(Id_{n \times n} - JH\right) = 1. \end{equation*}\] Rozważając wielomian charakterystyczny \(JH\) można pokazać, że \(JH\) jest nilpotentna, czyli \(JH^n=0\) (Zadanie).

Od tej pory zakładać będziemy, że \[\begin{equation*} F = X-H, \end{equation*}\] gdzie \(H\) jest \(d\)-jednorodne takie, że \(JH^n=0\). W ten sposób problem jest zadany przez odwzorowanie wielomianowe \(H\). Zakładać będziemy, że \(H\) ma reprezentację \[\begin{equation*} H_j = \sum_{|\alpha|=d} \frac{h^{(j)}_\alpha}{\alpha!} X^\alpha, \end{equation*}\] gdzie \(\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{N}^n\) jest wielowskaźnikiem o długości \(|\alpha| = \alpha_1+\ldots + \alpha_n\). Stosować będziemy też skrócone zapisy \(\alpha! = \alpha_1!\cdots\alpha_n!\) oraz \(X^\alpha = X_1^{\alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}\).