Skip to main content

Hipoteza jakobianowa: Notatki do wykładu

Lista zadań

  1. Niech \(A \in \mathbb{K} [X_1, \ldots, X_{i-1}, X_{i+1}, \ldots X_n]\). Odwzorowanie wielomianowe \[\begin{equation*} E = (X_1, \ldots, X_{i-1}, X_i - A, X_{i+1}, \ldots, X_n). \end{equation*}\] Pokaż, że \(E\circ E'=X\), gdzie \[\begin{equation*} E' = (X_1, \ldots, X_{i-1}, X_i + A, X_{i+1}, \ldots, X_n). \end{equation*}\]

  2. Rozważmy \(\mathbb{K}=\mathbb{Z}_3\), \(n=1\). Niech \(F = X_1+X_1^3\). Pokaż, że \(F \colon \mathbb{K} \to \mathbb{K}\) jest różnowartościowe, ale \(F\) nie jest odwracalne (wielomianowo).

  3. Niech \(F \in \mathbb{K}[X]^n\) będzie odwzorowaniem wielomoanowym. Rozważmy \(F^* \colon \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X]\) zadane przez \[\begin{equation*} F^*(G) = G \circ F. \end{equation*}\] Pokaż, że \(F^*\) jest automorfizmem \(\mathbb{K}[X]\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(F\) jest odwracalne wielomianowo.

  4. Załóżmy, że \(F = X-H\) przy czym \(H\) jest jednorodny stopnia \(d\) oraz \(\det(JF)=1\).

    1. Pokaż, że wielomian charakterystyczny macierzy \(JH\) jest równy \((-1)^n t^n\).
    2. Wywnioskuj, że \(JH\) jest nilpotentna

Definicja 4.1 Dla \(T\in C_p\) z wyróżnionym liściem \(v\in V_{\mathrm{ext}}(T)\) definiujemy \[\begin{equation*} \omega_{ji}(T,v) = \sum_{\substack{c \: : \: (c,T) \in \mathcal{C}^{(j)} \\ c(root) =j, \: c(v)=i } } \prod_{u\in V_{\mathrm{int}}(T)} \frac{h_{\kappa(u)}^{(c(u))}}{d!} \prod_{u\in V_{\mathrm{ext}}(T) \setminus \{ v \}} X_{c(u)} \end{equation*}\]

  1. Pokaż, że \[\begin{equation*} \frac{\partial \omega_j(T) }{ \partial X_i} = \sum_{v \in V_{ext}(T)} \omega_{ji}(T,v) \end{equation*}\]

  2. Załóżmy, że istnieje izomorfizm grafowy między \(T_1, T_2 \in C_p\) taki, który przekształca liść \(v_1\in V_{\mathrm{ext}}(T_1)\) na \(v_2\in V_{\mathrm{ext}}(T_2)\). Pokaż, że \(\omega_{ji}(T_1,v_1) = \omega_{ji}(T_2,v_2)\) dla dowolnych \(i\) oraz \(j\).

  3. Niech \(T\) będzie drzewem Catalana o wysokości jeden. Pokaż, że \(\frac{\partial H_j}{\partial X_i} = d \cdot \omega_{ji}(T,v)\) dla dowolnego liścia \(v \in V_{\mathrm{ext}}(T)\).

Definicja 4.2 Na zbiorze drzew z wyróżnionym liściem wprowadzamy działanie, poprzez utożsamienie korzenia jednego drzewa z wyróżnionym liściem w drugim drzewie. Dla przykładu jeżeli \((S,u)\) jest drzewem

a \((T,v)\) jest drzewem

to drzewo \((S,u)*(T,v)\) jest drzewem

  1. Uzasadnij, że dla dowolnych drzew z wyróżnionymi liśćmi \((S,u)\) i \((T,v)\) zachodzi \[\begin{equation*} \omega_{ji}\big( (S,u)*(T,v) \big) = \sum_{k=1}^n \omega_{jk}(S,u)\,\omega_{ki}(T,v). \end{equation*}\]

Definicja 4.3 Paprocią rzędu \(k\) nazywamy drzewo Catalana wysokości \(k\) o \(k\) wewnętrznych wierzchołkach. Dla przykładu graf

jest paprocią rzędu \(3\).

  1. Rozważmy paproć rzędu \(k\) \(U\) z liściem \(u\) w odległości \(k\) od korzenia. Pokaz, że \((JH)^k = d^k\cdot \omega(U,u)\).

  2. Uzasadnij Shuffle lemma Dla każdego \(T\) i każdego \(v \in V(T)\) w odległości \(\geq n\) od korzenia \[ \sum_{T'\in Sh(T,v)} \omega_j(T') = 0. \]

  3. Pokaż, że Hipoteza o tasowaniu poddrzew implikuje hipotezę o jakobianie. Rozważ przestrzeń \(\ell^2(C_p)\) i zinterpretuj Shuffle lemma.

  4. Niech \(e_1, \ldots e_n\) będzie bazą przestrzeni liniowej \(W\). Niech \(\mathcal{A}\) będzie zbiorem podzbiorów \(\{1, 2, \ldots n\}\) takim, że dla każdego \(k \leq n\) istnieje \(A \in \mathcal{A}\) takie, że \(\inf A =k\). Pokaż, że \[\begin{equation*} \mathrm{lin}\left\{ \sum_{k \in A} e_k \: : \: A \in \mathcal{A}\right\}=W. \end{equation*}\]

Definicja 4.4 Definiujemy porządek na \(C\) w następujący sposób: a. \(S < T\), gdy \(S\) ma mniej liści niż \(T\). b. definiujemy relację \(<\) rekurencyjne w następujący sposób: jeśli \(S\) i \(T\) mają tę samą liczbę wierzchołków, oraz \[ S = \begin{array}{c} S_1 S_2 \ldots S_j \\ \circ \end{array} \]

oraz

\[ T = \begin{array}{c} T_1 T_2 \ldots T_k \\ \circ \end{array} \] to \(S < T\) wtedy i tylko wtedy, gdy słowo \(S_1 S_2 \ldots S_j\) jest mniejsze od słowa \(T_1 T_2 \ldots T_k\) w porządku leksykograficznym.

  1. Niech \(d=2\). Uporządkuj \(C_4\).

  2. Niech \(d=2\). Pokaż, że każde drzewo z \(C_p\) jest elementem minimalnym pewnej shuffle class z \(n=2\).

  3. Pokaż, że Hipoteza o tasowaniu poddrzew jest prawdziwa dla \(n=d=2\).