1 Automorfizmy wielomianowe

Niech \(\mathbb{K}\) będzie dowolnym ciałem. Rozważamy \(\mathbb{K}[X] = \mathbb{K}[X_1, X_2,\ldots, X_n]\) pierścień wielomianów formalnych nad \(\mathbb{K}\) \(n\) zmiennych \(X = (X_1, \ldots, X_n)\).

Definicja 1.1 Odwzorowaniem wielomianowym nazywamy \(F = (F_1, F_2, \ldots, F_n) \in \mathbb{K}[X]^n\). Powiemy, że \(F\) jest odwracalne, jeżeli istnieje \(G \in \mathbb{K}[X]^n\) takie, że \(G \circ F = X\), gdzie \(\circ\) oznacza złożenie wielomianów. Mówimy wtedy, że \(F\) jest automorfizmem wielomianowym

Warunek odwracalności oznacza, że dla każdego \(i \leq n\), \[\begin{equation*} G_i(F_1, F_2, \ldots, F_n) = X_i. \end{equation*}\] Najprostszym przykładem odwracalnego odwzorowania wielomianowego jest \[\begin{equation*} F = A X +B, \end{equation*}\] gdzie \(B \in \mathbb{K}\) oraz \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\). Odwzorowania tego typu nazywamy afinicznymi. Podgrupę wszystkich odwzorowań afinicznych oznaczać będziemy przez \(\mathrm{Aff}(\mathbb{K}, n)\).

Remark. Jeżeli \(\mathbb{K}\) jest ciałem skończonym i jeżeli \(F,G\) są odwzorowaniami wielomianowymi takimi, że \(F(G(z))=z\) dla każdego \(z \in \mathbb{K}\), to może się zdarzyć, że \(F\) nie jest odwracalny.

Każde odwracalne odwzorowanie wielomianowe \(F\) odpowiada jednoznacznie \(\mathbb{K}\)-automorfizmowi \(\mathbb{K}[X]\) zadanemu przez \[\begin{equation*} F^*(H) = H(F). \end{equation*}\]

Zadanie 1.1 Pokaż, że \(F^*\) jest rzeczywiście \(\mathbb{K}\)-morfizmem \(\mathbb{K}[X]\). Uzasadnij, że jest to automorfizm wtedy i tylko wtedy, gdy \(F\) jest odwracalnym odwzorowaniem wielomianowym.

W rezultacie odwracalne odwzorowania wielomianowe będziemy nazywali automorfizmami wielomianowymi. Nasuwa się naturalne pytanie, czy istnieją nieliniowe automorfizmy wielomianowe? Pytanie to pojawiło się już w księdze Szkockiej (problem 79, Mazur, Orlicz).

Rozważmy \(a = a(X_1, X_2, \ldots \hat{X}_i, \ldots X_n)\) \(\in \mathbb{K}[X_1, \ldots \hat{X}_i, \ldots X_n]\) (tutaj \(\hat{X}_i\) oznacza, że zmienna \(X_i\) jest pominięta). Innymi słowy \(a\) jest wielomianem, który nie zależy od zmiennej \(X_i\). Wówczas Odwzorowanie wielomianowe postaci \[\begin{equation*} E = (X_1, \ldots, X_{i-1}, X_i-a, X_{i+1}, \ldots, X_n) \end{equation*}\] nazywamy elementarnym. Okazuje się, że \(E\) ma odwrotną zadaną przez \[\begin{equation*} E' = (X_1, \ldots, X_{i-1}, X_i+a, X_{i+1}, \ldots, X_n). \end{equation*}\] Zbiór wszystkich odwzorowań elementarnych oznaczmy przez \(\mathrm{E}(\mathbb{K},n)\). Dwie klasy automorfizmów \(\mathrm{Aff}(\mathbb{K},n)\) oraz \(\mathrm{E}(\mathbb{K},n)\) mają stosunkowo prostą strukturę. Rozważmy \(T(\mathbb{K},n)\) najmniejszą podgrupę \(\mathrm{Aut}_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}[X])\) zawierającą \(\mathrm{Aff}(\mathbb{K},n)\) oraz \(\mathrm{E}(\mathbb{K},n)\) (ang. tame automorphisms).

Conjecture 1.1 \(\mathrm{Aut}_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}[X]) = T(\mathbb{K},n)\).

Prawdziwość tej hipotezy dawałaby wgląd w strukturę \(\mathrm{Aut}_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}[X])\). Okazuje się, że powyższa hipoteza jest prawdziwa tylko dla \(n=2\) (Jung–van der Kulk 1942,1965). Dla \(n\geq 3\) istnieją dzikie automorfizmy (ang. wild automorphisms). Najbardziej znanym jest automorfizm Nagaty \(\sigma\), dany przez \[\begin{equation*} \sigma(X,Y,Z) = (X+Y(Y^2+XZ)+Z (Y^2+XZ)^2, Y+Z(Y^2+XZ), Z). \end{equation*}\] w 2004 (Shestakov–Umirbaev, 2003) udowodniono, że \(\sigma \notin T(\mathbb{K},n)\).