1. Przypuśćmy, że \(S = \mathbb{R}\), \[ \mathcal{D}(L) = \{f \in C_0(\mathbb{R}) : f' \in C_0(\mathbb{R})\}, \] oraz \(L f = f'\). Pokaż, że para \((L, \mathcal{D}(L))\) jest generatorem infinitezymalnym.

  2. Rozważmy proces Fellera polegający na jednostajnym ruchu w prawo. Niech \(S=\mathbb{R}\) i niech \(\mathbf{P}_x\) będzie punktową masą na ścieżce \(\omega_x\) danej przez \(\omega_x(t) = x + t\), lub równoważnie, proces z półgrupą \(T(t)f(x) = f(x + t)\). Pokaż, że generatorem \(L\) tego procesu jest ten opisany w poprzednim zadaniu. Upewnij się, że dziedzina dana jest dokładnie przez dziedzinę \(L\).

  3. Pokaż, że rezolwenta ruchu Browna jest dana przez \[ U(\alpha)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} \int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-\sqrt{2\alpha}|x-y|}\mathrm{d} y. \]

  4. Pokaż, że nie istnieje generator infinitezymalny, którego ograniczenie do gładkich funkcji jest dane przez \(Lf = f'''\).

  5. Niech \(\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem Fellera. Niech \(h, g \in C_0(S)\). Pokaż, że następujące dwa warunki są równoważne:

    1. \(h \in \mathcal{D}(L)\) i \(Lh = g\).
    2. Dla każdego \(x \in S\), proces \[ h(X_t) - \int_0^t g(X_s) \, \mathrm{d} s \] jest \(\mathbf{P}_x\) martyngałem względem filtracji \(\mathbb{F}\).

  6. Rozwazmy \(S=\mathbb{R}\). Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie ruchem Browna. Dla każdego \(t > 0\) i każdego \(z \in \mathbb{R}\), definiujemy \[ p_t(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp\left(-\frac{z^2}{2t}\right). \]

    1. Pokaż, że dla każdej \(f \in C_0(\mathbb{R}_+)\), \[ \mathbf{E}_x[f(|X_{s+t}|) | \mathcal{F}_s] = Q_t f(|X_s|), \] gdzie \(Q_0 f = f\) oraz dla każdego \(t > 0\), dla każdego \(x \geq 0\), \[ Q_t f(x) = \int_0^{\infty} \left(p_t(y - x) + p_t(y + x)\right) f(y) \, dy. \]
    2. Wnioskuj, że \((Q_t)_{t \geq 0}\) jest półgrupą Fellera. Oznaczmy jej generator przez \(L\).
    3. Niech \(f\) będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją na \(\mathbb{R}_+\), taką że \(f\) oraz \(f''\) należą do \(C_0(\mathbb{R}_+)\). Pokaż, że jeśli \(f'(0) = 0\), to \(f\) należy do dziedziny \(L\), a \(Lf = \frac{1}{2} f''\). ( Można zauważyć, że funkcja \(g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) zdefiniowana przez \(g(y) = f(|y|)\) jest wtedy dwukrotnie różniczkowalna na \(\mathbb{R}\).) Pokaż, że przeciwnie, jeśli \(f'(0) \neq 0\), to \(f\) nie należy do dziedziny \(L\).