Niech \(S=\mathbb{N}\). Łańcuch Markowa w czasie ciągłym \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) nazwiemy procesem gałązkowym, jeżeli \[\mathbf{P}_n * \mathbf{P}_m = \mathbf{P}_{n+m}\] dla dowolnych \(n,m \in \mathbb{N}\). Równoważnie, \(p_t(n, \cdot) * p_t(m,\cdot) = p_t(n+m, \cdot)\), czyli \[p_t(n+m,z) = \sum_{k=0}^z p_t(n,k)p_t(m,z-k), \qquad n,m,z \in \mathbb{N},\] gdzie \(p\) jest związaną funkcją przejścia.

1. Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem gałązkowym. Pokaż, że istnieje rodzina funkcji \(\psi_t \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\), \(t \in \mathbb{R}_+\), taka, że \[\mathbf{E}_n \left[ e^{-\alpha X_t} \right] = e^{-n \psi_t(\alpha)}, \qquad n \in \mathbb{N}, \: \alpha \in \mathbb{R}_+.\] Pokaż, że te funkcje spełniają relację \(\psi_t \circ \psi_s = \psi_{t+s}\).

2. Dla \(t \geq 0\), niech \(\{G_i(t)\}_{i\in \mathbb{N}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem \(e^{-t}\), tj. \[\mathbb{P}\left[ G_j(t) = k \right] = e^{-t}(1-e^{-t})^{k-1}, \qquad k,j \in \mathbb{N}, \: k\geq 1.\] Dla \(n,m \in \mathbb{N}\) zdefiniujmy \[p_t(n,m) = \mathbb{P}\left[ \sum_{j=1}^n G_j(t)=m\right].\] Pokaż, że \(p\) jest funkcją przejścia. Wskazówka: skorzystaj z transformaty Laplace’a.