Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem Fellera. Pokaż, że odwzorowanie \[\label{eq:3:4} x \mapsto \mathbf{E}_x \left[ \prod_{j=1}^n f_j(X_{t_j}) \right]\] jest ciągłe dla dowolnego \(n\), dowolnych \(t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}\) oraz dowolnych \(f_1, \ldots, f_n \in C_0(S)\).
Niech \(S=\mathbb{Z}\). Pokaż, że łańcuch Markowa w czasie ciągłym \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) jest procesem Fellera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(y \in S\) i każdego \(t \in \mathbb{R}_+\), \[\lim_{|x| \to \infty} \mathbf{P}_x[X_t=y]=0.\]
Niech \(T = (T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie półgrupą Fellera. Pokaż, że \(\|T(t)f\| \leq \|f\|\) dla wszystkich \(f \in C_0(S)\).
Niech \(T = (T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie półgrupą Fellera. Pokaż, że że funkcja \(t \mapsto T(t)f\) z \([0, \infty)\) do \(C_0(S)\) jest ciągła.
Niech \(S = \mathbb{R}\) i \(B=(B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie ruchem Browna.
Pokaż, że \(T_t\) zdefiniowane przez \[T_tf(x) = \mathbb{E}[f(B_t+x)]\] jest półgrupą Fellera.
Wyjaśnij, dlaczego \(T\) nie jest mocno ciągła jako półgrupa operatorów na \(C(S)\).
Niech \(U(\alpha)\) będzie rezolwentą półgrupy Fellera \(T=(T_{t})_{t \in \mathbb{R}_+}\). Pokaż, że dla każdego \(f \in C_0(S)\), \[\lim_{\alpha \to \infty} \alpha U(\alpha) f = f.\]
Niech \(U(\alpha)\) będzie rezolwentą półgrupy Fellera \(T=(T_{t})_{t \in \mathbb{R}_+}\). Pokaż, że \[T_t U(\alpha) f(x) = \int_0^\infty e^{-\alpha s} T_{t+s} f(x) \mathrm{d}s\]