Niech \(\nu\) i \(\pi\) będą miarami probabilistycznymi na \(\{0,1\}^V\). Załóżmy, że dla każdego skończonego \(A \subseteq V\), \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{P}_{\nu} [\eta_t \equiv 1 \mbox{ and $A$}] = \pi(\eta \: : \: \eta\equiv 1 \mbox{ na $A$}).\] Pokaż, że \(\pi\) jest miarą stacjonarną.
Niech \(\mu\) będzie miarą probabilistyczną na \(\{0,1\}^V\), \(V = \mathbb{Z}^d\). Załóżmy, że dla pewnego \(\rho \in [0,1]\), \[\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}_{x_1, \ldots, x_n}[\mu (\eta \: : \: \eta\equiv 1 \mbox{ na } \{X_1(t), \ldots X_n(t) \})] =\rho^n\] dla każdego \(n \in \mathbb{N}\) i każdych \(x_1, \ldots x_n \in \mathbb{Z}^d\). Przypomnijmy, że \(\{X_j\}_j\) to niezależne spacery losowe zapoczątkowane w \(\{x_j\}_j\). Pokaż, że \[\mathbf{P}_{\mu}[\eta_t \in \cdot] \Rightarrow \mu_\rho(\cdot).\]
Niech \(\mu\) będzie mieszająca na \(\{0,1\}^V\), \(V = \mathbb{Z}^d\). Niech \(\rho = \mu( \eta \: : \: \eta(0)=1)\). Połóżmy \[W_t(x,\eta) = \sum_{y \in V} p_t(x,y) \eta(y).\]
Pokaż, że \[\lim_{t \to \infty} W_t(x,\eta) = \rho\] w \(L_2(\mu)\) dla każdego \(x \in V\).
Pokaż, że \[\mathbf{P}_\mu[\eta_t \in \cdot] \Rightarrow \mu_\rho(\cdot).\]
Niech \(Z = \mathbb{Z}\). Niech dla \(\rho\in [0,1]\), \[\nu_\rho = \bigotimes_{k \in \mathbb{Z}}((1-\rho)\delta_0 - \rho \delta_1).\] Rozważmy the Voter model w którym \(q(x,y) =\mathbf{1}_{\{|x-y|=1\}}\).
Wykorzystując zasade odbicia znajdź \[\lim_{t \to \infty} \sqrt{t} \mathbf{P}_{\nu_\rho}[\eta_t(1) \neq \eta_t(0)].\]
Znadź \[\lim_{t \to \infty} \mathrm{Var} \left[\frac 1t \int_0^t \eta_s(0) \mathrm{d}s \right].\]
Załóżmy, że prawdopodobieństwa przejścia \(p_t\) stowarzyszonego spaceru są podwójnie stochastyczne, tj. \[\sum_{x \in V}p_t(x,y)=1\] dla każdego \(y \in V\). Dla \(\eta \in \{0,1\}^V\) niech \[|\eta| = \sum_{x \in V} \eta(x).\]
Pokaż, że \(|\eta_t|\) jest \(\mathbf{P}_\eta\) martyngałem dla każdego \(\eta \in \{0,1\}\) takiego, że \(|\eta|<\infty\).
Wywnioskuj, że \(\eta_t \equiv 0\) dla dostatecznie dużych \(t\), \(\mathbf{P}_\eta\) prawie wszędzie, dla każdej \(\eta \in \{0,1\}^V\) takiej, że \(|\eta|<\infty\).