Niech \(X=(X_t)_{t \geq 0}\) będzie nieprzywiedlnym, powracającym łańcuchem Markowa na (przeliczalnym) zbiorze \(S\) z rozkładem stacjonarnym \(\pi\) i \(q\)-macierzą \(q\). Rozważmy łańcuch \(Y=(Y_t)_{t \geq 0}\), w którym skończenie wiele nierozróżnialnych cząsteczek porusza się niezależnie po \(S\) zgodnie z łańcuchem \(X\). Przestrzenią stanów dla \(Y\) jest zbiór \(S^*\) wszystkich skończonych konfiguracji \(\eta\) cząsteczek na \(S\). Opisz \(q\)-macierz \(Q\) dla \(Y\).
Niech \(\Pi = \{\Pi(x), x \in S\}\) będzie zbiorem niezależnych zmiennych losowych, gdzie \(\Pi(x)\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\lambda \pi(x)\). Udowodnij, że \[\label{eq} \Pi^*(\eta \in S^* : \eta(x) = k_x \text{ dla } x \in T) = \prod_{x \in T} P(\Pi(x) = k_x)\] dla skończonego zbioru \(T \subset S\) oraz liczb naturalnych \(k_x\), \(x \in T\), wyznacza miarę probabilistyczną na \(S^*\).
Wykaż, że \(\Pi^*\) jest rozkładem stacjonarnym dla procesu \(Y(t)\).
Załóżmy, że na \(S\) porusza się dokładnie \(k_0\) cząstek. Jaki jest rozkład stacjonarny dla \(Y(t)\)?
W procesie \(Y\) każda cząstka przebywająca w \(x \in S\) zmienia położenie z intensywnością \(c(x) = -q(x,x)\). Rozważmy teraz inny proces \(Z = (Z_t)\) na \(S^*\), w którym z intensywnością \(c(x)\) pewna cząstka w \(x\) przemieszcza się. Opisz \(q\)-macierz \(Q_1\) dla \(Z\).
Niech \(\{\Pi(x), x \in S\}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym, gdzie \(\Pi(x)\) ma parametr \(p(x)\) dla pewnej funkcji \(p \colon S \to \mathbb{R}_+\). Znajdź warunki, dla których odpowiadający \(\Pi^*\), jest rozkładem stacjonarnym dla tego łańcucha.