(Quasi-lewostronna ciągłość) Ustalmy \(x \in S\). Niech \((T_n)_{n \geq 1}\) będzie ściśle rosnącym ciągiem czasów zatrzymania, a \(T = \lim_{n} T_n\). Zakładamy, że istnieje stała \(C < \infty\) taka, że \(T \leq C\). Celem ćwiczenia jest pokazanie, że \(X_{T-} = X_T\), \(\mathbf{P}_x\)-prawie wszędzie.
Niech \(f \in \mathcal{D}(L)\) oraz \(h = Lf\). Pokaż, że dla każdego \(n \geq 1\), \[\mathbf{E}_x \left[ f(X_T) \mid \mathcal{F}_{T_n} \right] = f(X_{T_n}) + \mathbf{E}_x \left[ \int_{T_n}^T h(X_s) \, \mathrm{d}s \Big| \mathcal{F}_{T_n} \right].\]
Przypominamy z RP2R, że \[\mathbf{E}_x \left[ f(X_T) \mid \mathcal{F}_{T_n} \right] \to \mathbf{E}_x \left[ f(X_T) \left| \widetilde{\mathcal{F}}_T \right]\right.\] prawie pszędzie i w \(L_1\), gdzie \[\widetilde{\mathcal{F}}_T = \bigvee_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{T_n}.\] Wnioskuj z punktu (a), że \[\mathbf{E}_x \left[ f(X_T) \left| \widetilde{\mathcal{F}}_T \right]\right. = f(X_{T-}).\]
Pokaż, że teza punktu (b) pozostaje prawdziwa, jeśli przyjmiemy jedynie, że \(f \in C_0(S)\), oraz wywnioskuj, że dla każdych \(f, g \in C_0(S)\), \[\mathbf{E}_x \left[ f(X_T) g(X_{T-}) \right] = \mathbf{E}_x \left[ f(X_{T-}) g(X_{T-}) \right].\] Wnioskuj, że \(X_{T-} = X_T\), \(\mathbf{P}_x\)-prawie wszędzie.
(Operacja zabijania) W tym ćwiczeniu zakładamy, że \(X\) ma ciągłe trajektorie. Niech \(A\) będzie zwartym podzbiorem \(S\) oraz \[T_A = \inf \{ t \geq 0 : X_t \in A \}.\]
Dla każdego \(t \geq 0\) i każdej funkcji \(\varphi \in C_0(S)\), definiujemy \[Q_t^* \varphi(x) = \mathbf{E}_x [\varphi(X_t) \, \mathbf{1}_{\{t < T_A\}}] , \quad x \in S.\] Sprawdź, że \(Q_{t+s}^* \varphi = Q_t^*(Q_s^* \varphi)\), dla każdych \(s, t \geq 0\).
Definiujemy \(\overline{S} = (S \setminus A) \cup \{\Delta\}\), gdzie \(\Delta\) jest punktem dodanym do \(S \setminus A\) jako punkt izolowany. Dla każdej \(\varphi \in C_0(\overline{S})\) i każdego \(t \geq 0\), definiujemy \[\overline{Q}_t \varphi(x) = \mathbf{E}_x [\varphi(X_t) \, \mathbf{1}_{\{t < T_A\}}] + \mathbf{P}_x[T_A \leq t] \varphi(\Delta) , \quad \text{jeśli } x \in S\setminus A\] oraz \(\overline{Q}_t \varphi(\Delta) = \varphi(\Delta)\). Pokaż, że \((\overline{Q}_t)_{t \geq 0}\) jest półgrupą.
Pokaż, że pod miarą prawdopodobieństwa \(\mathbf{P}_x\) proces \(\overline{X}\) zdefiniowany jako \[\overline{X}_t = \begin{cases} X_t & \text{jeśli } t < T_A \\ \Delta & \text{jeśli } t \geq T_A \end{cases}\] jest procesem Markowa z półgrupą \((\overline{Q}_t)_{t \geq 0}\), (spełnia postulaty (PF1, 2, 4) definicjia procesu Fellera.
Zakładamy, że \((\overline{Q}_t)_{t \geq 0}\) jest półgrupą Fellera i oznaczamy jej generator przez \(\overline{L}\). Niech \(f \in \mathcal{D}(L)\) będzie taka, że \(f\) oraz \(Lf\) zanikają na zbiorze otwartym zawierającym \(A\). Oznaczmy przez \(\overline{f}\) dla obcięcia \(f\) do \(E \setminus A\), i rozważamy \(\overline{f}\) jako funkcję na \(\overline{E}\) przez położenie \(\overline{f}(\Delta) = 0\). Pokaż, że \(\overline{f} \in \mathcal{D}(\overline{L})\) oraz \(\overline{L} \overline{f} = Lf\) na \(E \setminus A\).