Niech \(T = (T_{t})_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie półgrupą Fellera na \(S\). Pokaż, że dla każdego \(x \in S\) i każdego \(t \geq 0\) istnieje miara \(\mu_{t,x}\) na \(S\) taka, że \[T_tg(x) = \int g(y) \: \mu_{t,x}(\mathrm{d} y).\] Wskazówka: Rozważ jednopunktowe uzwarcenie \(S\).
Wywnioskuj z poprzedniego zadania, że \(\| T_t\|\leq 1\).
Niech \(T = (T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie półgrupą Fellera. Pokaż, że dla każdego \(t \geq 0\), \[\inf_{x \in S} T_tf(x) \geq \inf_{x \in S} f(x) .\]
Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem Fellera. Rozważmy ograniczoną funkcję mierzalną \(\varphi \colon \mathbb{R}_+ \times \Omega \to \mathbb{R}\). Pokaż, że dla \(\mathbb{F}\)-czasu zatrzymania \(\tau\) zachodzi \[\mathbf{E}_x \left[ \varphi(\tau, \theta_{\tau}) | \mathcal{F}_\tau\right] = \Phi(\tau, X_{\tau}) \quad \mathbf{P}_x-p.w.\] gdzie \[\Phi(t,x) = \int_\Omega \varphi(t, \omega) \mathbf{P}_x(\mathrm{d}\omega).\]
Pokaż, że jeżeli \(A \colon C_0(S) \to C_0(S)\) jest ograniczonym operatorem, to \(\mathcal{R}(I-\epsilon A) = C_0(S)\) dla dostatecznie małych \(\epsilon>0\).
Niech \((L, \mathcal{D}(L))\) będzie generatorem infinitezymalnym. Dla \(\epsilon>0\) rozważmy \[L_\epsilon = L(I-\epsilon L)^{-1}, \qquad T_\epsilon(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^nL_\epsilon^n}{n!}.\] Pokaż, że \(T_\epsilon\) jest półgrupą Fellera z generatorem \(L_\epsilon\).