Niech \(V\) będzie zbiorem przeliczalnym. Rozważmy system spinowy z generatorem infinitezymalnym postaci \[Lf(\eta) = \sum_{x \in V} c(x, \eta) \left[ f(\left(\eta^{(x)} \right) - f(\eta) \right],\] gdzie liczby \(c(x, \eta)\) dla \(x\in V\) oraz \(\eta\in \{0,1\}^V\) są takie, że \[\epsilon = \inf_{x,\eta}\left[c(x,\eta) +c\left(x, \eta^{(x)}\right) \right], \quad \gamma(x,y) = \sup_{\eta} \left|c\left(x,\eta^{(x)}\right) -c(x,\eta) \right|\] spełniają \[M = \sup_{x \in V} \sum_{y \neq x} \gamma(x,y) <\epsilon.\]
Pokaż, że dla każdych \(\eta, \xi \in \{ 0,1\}^V\) i \(f \in D\) (patrzy wykład 9) mamy \(|f(\eta) - f(\xi)| \leq \|f\|_o\). Wywnioskuj, że \(|T_tf(\eta) - T_tf(\xi)| \leq e^{(M-\epsilon)t}\|f\|_o\), gdzie \((T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest stowarzyszoną półgrupą Fellera.
Niech \(\pi\) będzie rozkładem stacjonarnym dla rozważanego procesu Fellera \((\eta_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\). Pokaż, że dla każdej ciągłej i rzeczywistej \(f\) na \(\{0,1\}^V\) i dla każdej miary probabilistycznej \(\nu\) na \(\{0,1\}^V\) mamy \[\lim_{t \to \infty} \mathbf{E}_\nu \left[f(\eta_t) \right] = \int f(\eta) \: \pi(\mathrm{d}\eta).\]
Rozważmy model epidemii na grafie \(G\). Pokaż, że jeżeli \[1/\lambda > \max_{x} \mathrm{deg}(x),\] to proces ten posiada tylko jedną miarę stacjonarną.
Niech \(N=(N(t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie jednorodnym procesem Poissona z parametrem \(\lambda>0\). Niech \(E\) będzie niezależną od \(N\) zmienną losową. Pokaż, że \(N(t+E)-N(E)\) jest jednorodnym procesem Poissona z parametrem \(\lambda>0\).
Niech \(\{\xi_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) będzie ciągiem iid z rozkładem wykładniczym z parametrem \(\lambda>0\). Niech \(S_n = \sum_{k=1}^n\xi_k\) i niech \[\nu(t) = \inf \{ k \: : \: S_k>t\}.\] Pokaż, że dla każdego \(t>0\) zmienna \(t-S_{\nu(t)-1}\) ma ten sam rozkład co \(\xi_1\wedge t\).