1. Niech \(S=[1, +\infty)\). Pokaż, że rodzina \(T=(T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) zadana przez \[T_t f(x) = \exp\left(-t/x\right) f(x) + \int_x^{\infty} t y^{-2} \exp\left(-t/y \right) f(y) \, \mathrm{d} y,\] dla \(f \in C_0(S)\) jest półgrupą Fellera. Wskazówka: Znajdź probabilistyczną interpretację \[\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}T_tf(x)\right|_{t=0}.\] Wykorzystaj ją aby zdefiniować proces Fellera \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) dla którego \(T_tf(x) = \mathbf{E}_x[f(X_t)]\).

  2. Znajdź generator infinitezymalny jednorodnego procesu Poissona z intensywnością \(\lambda>0\).

  3. Niech \(B=(B_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) będzie ruchem Browna. Pokaż, że proces stochastyczny \(Y_t = B_t+t\) jest procesem Fellera. Znajdź jego generator infinitezymalny.

  4. (wzór Feynmana-Kaca) Niech \((\mathbf{P}, \mathbb{F})\) będzie procesem Fellera z półgrupą \(T=(T_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) i generatorem \((L, \mathcal{D}(L))\). Niech \(v\) będzie funkcją nieujemną z \(C_0(S)\). Dla każdego \(x \in S\) oraz \(t \geq 0\), definiujemy \[T_t^* f(x) = \mathbf{E}_x \left[ f(X_t) \exp \left( - \int_0^t v(X_s) \, \mathrm{d}s \right) \right], \quad f \in C_0(S).\]

    1. Pokaż, że \(T^*=(T^*_t)_{t \in \mathbb{R}_+}\) jest półgrupą.

    2. Zauważ, że \[1 - \exp \left( - \int_0^t v(X_s) \, \mathrm{d}s \right) = \int_0^t v(X_s) \exp \left( - \int_s^t v(X_r) \, \mathrm{d}r \right) \mathrm{d}s\] a następnie wywnioskuj, że dla \(f \in C_0(S)\), \[T_t f - T_t^* f = \int_0^t T_s (v \, T_{t-s}^* f) \, \mathrm{d}s.\]

    3. Rozważmy \(f \in \mathcal{D}(L)\). Pokaż, że \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} T_t^* f \bigg|_{t=0} = L f - v f.\]