Wstęp

Celem wykładu jest dokonanie przeglądu kilku modeli układów cząstek lub osobników, które wzajemnie na siebie oddziałują. Każda cząsteczka lub osobnik \(x\) posiada w czasie \(t\geq 0\) pewną cechę oznaczaną \(\eta_t(x)\). W poruszanych przykładach \(\eta_t(x)\) będzie opinią w chwili \(t\) agenta \(x\) na z góry zadany temat. Może być to odpowiedź na pytanie Jaką procentowo podwyżkę powinni otrzymać nauczyciele akademiccy? Wówczas \(\eta_t(x)\) jest liczbą w przedziale \([0,1]\). Nieco prostsza jest odpowiedź na Jak zagłosujesz w najbliższym referendum? Wtedy \(\eta_t(x)\) może być interpretowane jako liczba \(\{0,1\}\). Te i kilka innych przykładów omówimy w niniejszym rozdziale. Ich cechą wspólną jest to, że w naturalny sposób cecha jednego osobnika, poprzez interakcje, wpływa na cechy pozostałych. W skutek czego będziemy patrzyli na takie systemy globalnie.

Kolekcją osobników będzie każdorazowo zbiór wierzchołków przeliczalnego grafu nieskierowanego o ograniczonym stopniu \(G=(V, E)\). Wówczas występowanie krawędzi możemy zinterpretować jako znajomość. Niech \(W \subseteq \mathbb{R}\) będzie ograniczony i domknięty (w ogólności \(W\) może być dowolną zwartą przestrzenią metryczną). Dla \(t \geq 0\) i \(x \in V\) rozważać będziemy losowy wybór cech \(\eta_t(x) \in W\). W trakcie wykładu interesować nas będzie asymptotyczne zachowanie \(\eta_t = \{ \eta_t(x) \}_{x \in V}\) dla dużych wartości \(t\).

Przejdziemy teraz do przeglądu konkretnych modeli badanych w trakcie wykładu.