Dowody i produktywne porażki
Czym właściwie jest matematyka?
Chciałbym zacząć od próby wyjaśnienia powszechnego zjawiska związanego z szokiem, jaki przeżywa student pierwszego roku podczas pierwszych tygodni zajęć. Wiąże się on przede wszystkim z przeskokiem między matematyką licealną a uniwersytecką. Trafnie opisuje to zjawisko Devlin (2012).
Znaczna część matematyki szkolnej jest archaiczna. Niektóre jej elementy pochodzą jeszcze ze starożytności, wiele innych ukształtowało się w średniowieczu, a niemal cała reszta — najpóźniej w XVII wieku. Do szkoły trafia niewiele matematyki powstałej w ciągu ostatnich trzystu lat. Nie oznacza to oczywiście, że szkolne treści są niepotrzebne. Są fundamentem. Problem pojawia się dopiero wtedy, gdy fundament bierzemy za cały budynek.
W XIX wieku dokonała się zasadnicza zmiana w sposobie myślenia o matematyce. Po pierwsze, stała się ona znacznie bardziej abstrakcyjna. Po drugie, punkt ciężkości zaczął przesuwać się z wykonywania obliczeń i stosowania procedur na badanie struktur oraz zależności. Coraz ważniejsze stawały się pytania: dlaczego dane twierdzenie jest prawdziwe, od jakich założeń zależy, czy można je uogólnić i co się stanie, jeśli któreś z założeń usuniemy.
Obliczenia oczywiście nie zniknęły. Nadal są niezbędne, podobnie jak znajomość podstawowych metod. Same procedury przestały jednak wystarczać. W świecie coraz bardziej skomplikowanych modeli, struktur i zależności potrzebna jest przede wszystkim umiejętność analitycznego myślenia.
W systemie edukacji tę zmianę perspektywy odczuwa się zwykle przy przejściu z liceum na uniwersytet. Nagle nie wystarczy już wiedzieć, jak coś policzyć. Trzeba nauczyć się czytać definicje, tworzyć przykłady i kontrprzykłady, formułować przypuszczenia oraz uzasadniać, że dane rozumowanie działa w każdym rozważanym przypadku. Odpowiedź przestaje być końcem zadania — równie ważne staje się wyjaśnienie, dlaczego właśnie taka odpowiedź musi być prawdziwa.
Ta zmiana bywa dezorientująca. Student może mieć wrażenie, że matematyka, z którą spotyka się na studiach, jest czymś zupełnie innym niż przedmiot znany mu ze szkoły. I pod pewnym względem rzeczywiście tak jest. Nie oznacza to jednak, że nagle przestał być „dobry z matematyki”. Zmieniły się po prostu zasady gry — a jednym z pierwszych zadań na studiach jest nauczenie się tych nowych zasad.
Klątwa procedur
Matematyka szkolna kładzie duży nacisk na procedury. Wiąże się on z tym, że system szkolny nie nagradza twórczej zabawy z obiektami matematycznymi, tylko łatwą do zmierzenia utylitarność i efektywność.
Lockhart (2002) opisuje matematyków jako ludzi, którzy układają wzory z idei. Najchętniej wybierają przy tym obiekty możliwie proste — takie, które istnieją jedynie w wyobraźni.
Pytanie 1 Rozważmy trójkąt umieszczony w prostokącie. Jaką część prostokąta on zajmuje?
Nie stoi za tym żadne praktyczne zastosowanie. To po prostu zabawa ideami, a zarazem początek matematycznego problemu.
Nie pytamy o rzeczywisty rysunek ani o figurę wykonaną z metalu. Interesuje nas idealny trójkąt w idealnym prostokącie. Tworząc takie obiekty, możemy swobodnie ustalić ich własności i reguły gry. Kiedy jednak już to zrobimy, tracimy kontrolę nad wynikającymi z nich konsekwencjami. Nie możemy zdecydować, jaką część prostokąta zajmuje trójkąt — musimy to odkryć. Na tym polega niezwykłość matematycznych obiektów: są wytworami naszej wyobraźni, a mimo to dyktują własne zasady.
Wystarczy poprowadzić pionową linię z górnego wierzchołka trójkąta do jego podstawy. Linia ta dzieli duży prostokąt na dwa mniejsze, a boki trójkąta stają się ich przekątnymi. Ponieważ przekątna dzieli każdy prostokąt na dwa przystające trójkąty, wewnątrz trójkąta znajduje się dokładnie tyle samo powierzchni, co na zewnątrz. Trójkąt zajmuje więc połowę prostokąta. Jedna pomocnicza linia zmienia zagadkę w coś oczywistego — i właśnie takie chwile odkrycia stanowią istotę matematycznej twórczości.
W szkole cały ten proces bywa zastępowany gotowym wzorem \[ P= bh/2, \] który należy zapamiętać i zastosować w serii podobnych zadań. Problem nie leży w samym wzorze, lecz w pominięciu pytania, pomysłu i wyjaśnienia, które do niego prowadzą. Matematyka nie jest jedynie zbiorem prawdziwych zdań i skutecznych procedur. Polega na zadawaniu pytań, formułowaniu przypuszczeń, popełnianiu błędów i budowaniu argumentów. Jeśli pozostawimy uczniom tylko wyniki, a odbierzemy im możliwość odkrywania, w nauczaniu matematyki może zabraknąć właśnie matematyki.
Dowody
W matematyce chcemy zrozumieć abstrakcyjne obiekty (jak trójkąty w prostokącie). Robimy to poprzez szukanie różnych ich własności. Niektóre z nich są ciekawe i zaskakujące, a inne całkiem zwyczajne. Skąd jednak mieć pewność, że odkryta przez nas własność jest prawdziwa?
Jedną z podstawowych umiejętności matematyka jest szukanie schematów i analogii. To drugie wymaga pewnej wprawy. Skupimy się na tym pierwszym. Rozważmy pierwszy ciąg obserwacji \[\begin{align*} 1 & = 1 \\ 1+3 & = 4\\ 1+3+5 & = 9\\ 1+3+5+7 & = 16. \end{align*}\] Na jego podstawie możemy przypuszczać, że \[\begin{equation*} 1+3+5+7+9+11 = 36 \end{equation*}\] co jesteśmy w stanie zweryfikować w pamięci. Możemy się też pokusić o \[\begin{equation*} 1+3+5+ \ldots +2025+2027 = 1014^2 \end{equation*}\] co może być nieco trudniejsze do sprawdzenia. Przykłady te są przejawem pewnej ogólnej zasady, co do której nie mamy jeszcze stuprocentowej pewności.
Definicja 1 Hipoteza matematyczna to precyzyjnie sformułowane zdanie, które na podstawie przykładów, obliczeń lub intuicji wydaje się prawdziwe, ale nie zostało jeszcze udowodnione ani obalone.
Przeliczone przez nas przykłady pozwalają postawić naszą pierwszą hipotezę.
Hipoteza 1 Dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi \[\begin{equation*} 1+3+\ldots + (2n-3)+ (2n-1) = n^2. \end{equation*}\]
Do zadań matematyki uniwersyteckiej należy rozstrzyganie prawdziwości hipotez. W przypadku Hipoteza 1 należy odpowiedzieć na pytanie czy istnieje liczba \(n\), dla której wzór w niej zawarty nie jest prawdziwy?
Zanim odpowiemy sobie na to pytanie, zobaczmy jeszcze jeden przykład.
Rozważmy teraz drugi ciąg obserwacji \[\begin{align*} 1^2+1+41 & = 43 \\ 2^2+2+41 & = 47 \\ 3^2+3+41 & = 53 \\ 4^2+4+41 & = 61. \end{align*}\] Tutaj struktura jest nieco bardziej złożona. Rozważmy kilka kolejnych przykładów \[\begin{align*} 5^2+5+41 & = 71 \\ 6^2+6+41 & = 83 \\ 7^2+7+41 & = 97 \\ 8^2+8+41 & = 113. \end{align*}\] Wszystkie te liczby są pierwsze! Analogicznie \[\begin{equation*} 13^2+13 +41 = 233. \end{equation*}\]
Hipoteza 2 Dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \[\begin{equation*} n^2+n+41 \end{equation*}\] jest pierwsza.
Dla \(n=23\) dostajemy \[\begin{equation*} 23^2+23+41 = 593 \end{equation*}\] Wzór ten działa zaskakująco dobrze. Jednak liczba \(41\) obecna we wzorze budzi pewne podejrzenia. Dlaczego właśnie ona? Podejrzenie nie jest jednak jeszcze krytyką. Hipoteza może zignorować naszą nieufność czy niechęć; nie może natomiast zignorować kontrprzykładu (Lakatos (1976)).
Definicja 2 Kontrprzykład to konkretny przypadek, który spełnia założenia hipotezy, ale przeczy jej wnioskowi.
Do obalenia zdania postaci „dla każdego…” wystarczy jeden kontrprzykład. Jeśli więc chcemy zakwestionować działanie wzoru, nie wystarczy stwierdzić, że liczba \(41\) wygląda sztucznie. Musimy znaleźć takie \(n\), dla którego \(n^2+n+41\) nie jest liczbą pierwszą. Okazuje się, że do \(n=39\) wzór działa poprawnie, \[\begin{equation*} 39^2+39+41=1601 \end{equation*}\] jest liczbą pierwszą, ale \[\begin{equation*} 40^2+40+41=41^2 \end{equation*}\] już nią nie jest. Hipoteza 2 jest zatem fałszywa. Nie jest prawdą, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) wzór \(n^2+n+41\) produkuje liczbę pierwszą. Widzimy, że \(n=40\) jest przykładem takiego \(n\), dla którego to nie zachodzi. Okazuje się, że mimo że wzór zachodzi dla wielu początkowych liczb (bo aż \(39\)), to z pewnych przyczyn zaczyna się psuć.
Jak w tym momencie należy zapatrywać się na Hipoteza 1? Możemy sprawdzić poprawność wzoru dla pierwszych stu liczb. Nie mamy wtedy pewności że tożsamość nie popsuje się na sto pierwszej. Po sprawdzeniu sto pierwszej, nie mamy pewności, że nie popsuje się na sto drugiej…
Potrzebny jest nam argument, który zadziała jednocześnie dla wszystkich liczb, niezależnie od ich wartości.
Definicja 3 Dowód matematyczny to publicznie sprawdzalne rozumowanie, które pokazuje, że dane twierdzenie musi być prawdziwe, ponieważ wynika z jasno określonych założeń, definicji i wcześniej uznanych faktów.
Kluczowe jest tutaj słowo musi. Sprawdzenie wielu przykładów może mocno sugerować, że twierdzenie jest prawdziwe, ale nie wyklucza istnienia wyjątku — tak jak w przypadku wzoru \(n^2+n+41\), który przez długi czas daje liczby pierwsze, lecz dla \(n=40\) zawodzi. Dowód nie mówi więc jedynie: to działa w każdym z dotychczas sprawdzonych przypadków, ale wyjaśnia, dlaczego kontrprzykład nie może istnieć.
Dowód (Hipoteza 1). Niech \(n\) będzie dowolną liczbą naturalną. Oznaczmy \[\begin{equation*} 1+3+5+ \ldots + (2n-1) =A. \end{equation*}\] Rozważmy \[\begin{align*} 1 + 3 + \ldots + (2n-3) + (2n-1) & =A \\ (2n-1) + (2n-3) + \ldots + 3 + 1 & = A. \end{align*}\] Dodając stronami, otrzymujemy \[\begin{equation*} 2n + 2n + \ldots + 2n + 2n =2A. \end{equation*}\] Stąd \(n \times 2n = 2A\). Czyli \[\begin{equation*} n^2 = A = 1+3+ \ldots + (2n-1). \end{equation*}\]
W powyższym rozumowaniu ważne jest to, że nie korzystaliśmy w nim z żadnych szczególnych własności liczb (jak chociażby podzielność przez \(7\)). Istotnie, \(n\) może przyjmować dowolną wartość i w dalszym ciągu wszystkie kroki rozumowania będą poprawne. Nasza hipoteza stała się teraz twierdzeniem.
Definicja 4 Twierdzenie matematyczne to precyzyjnie sformułowane zdanie, którego prawdziwość została wykazana za pomocą dowodu opartego na definicjach, aksjomatach i wcześniej udowodnionych wynikach.
Dobry dowód robi jednak często coś więcej niż samo potwierdzenie prawdziwości twierdzenia. Odsłania mechanizm stojący za obserwowanym zjawiskiem. Zrozumienie tego mechanizmu pozwala często na prowadzenie własnych rozumowań. Aby zrozumieć siłę z tego płynącą, rozważmy kolejny ciąg równości \[\begin{align*} 1+2 & = 3 \\ 1+2+3 & = 6 \\ 1+2+3+4 & = 10 \\ 1+2+3+4+5 & = 15. \end{align*}\] Czy widzimy tutaj ogólną zależność? Czy potrafimy powiedzieć, ile będzie wynosić \[\begin{equation*} 1+2+3+\ldots + 2026? \end{equation*}\] Sam udowodniony przez nas wcześniej wzór się nam nie przyda. Jego dowód natomiast odsłania pewien mechanizm, który możemy wykorzystać. W praktyce jest to po prostu zastosowanie tej samej sztuczki. \[\begin{align*} 1 + 2 + \ldots + 2025 + 2026 & = B \\ 2026 + 2025 + \ldots + 2 + 1 & = B \end{align*}\] Stąd po dodaniu stronami i podzieleniu przez dwa \[\begin{equation*} B = 1013\times 2027. \end{equation*}\] Możemy z tym pójść dalej. Mianowicie oznaczając \[\begin{equation*} 1+2+3+ \ldots +n = C \end{equation*}\] i stosując ten sam manewr otrzymujemy \(2C = n(n+1)\), czyli \[\begin{equation*} 1+2+3+ \ldots +n = n(n+1)/2. \end{equation*}\] W ten sposób wyprowadziliśmy samodzielnie i udowodniliśmy następujący rezultat.
Twierdzenie 1 Dla każdej liczby naturalnej \(n\), \[\begin{equation*} 1+2+ \ldots + n =n(n+1)/2. \end{equation*}\]
W tym momencie warto zwrócić uwagę na sam mechanizm. Dowód poznaliśmy przed dokładnym sformułowaniem twierdzenia.
Samo stwierdzenie w Hipoteza 1 niesie ze sobą pewne zjawisko. Dowód natomiast to zjawisko tłumaczy. Kiedy zrozumiemy dowód, zrozumiemy też zjawisko i będziemy mogli stosować je w wielu innych kontekstach.
W tym konkretnym przypadku zjawisko sprowadza się do prostej sztuczki, ale w trakcie studiów matematycznych powyższa filozofia staje się bardzo pomocna.
Produktywne porażki
Gotowe dowody matematyczne bywają zwodnicze. Są krótkie, uporządkowane i prowadzą prosto od założeń do tezy. Widząc taki dowód po raz pierwszy student myśli ja bym na to nie wpadł/a. Gotowe dowody nie pokazują prób, błędnych pomysłów ani ślepych uliczek, z których często się narodziły.
Aby zobaczyć, jak tak naprawdę rodzi się dowód rozważmy następujący problem. Wyobraźmy sobie spotkanie, w którym bierze udział pewna ustalona liczba osób. Siłą rzeczy każda para osób albo się zna, albo się nie zna.
Pytanie 2 Jak duża musi być grupa, abyśmy mieli pewność, że znajdą się w niej trzy osoby, które wszystkie się znają, albo trzy osoby, z których żadne dwie się nie znają?
Samo sformułowanie jest dość zawiłe. Przetłumaczymy je geometrycznie. Przedstawmy osoby jako punkty. Dwa punkty łączymy niebieską linią, jeśli odpowiadające im osoby się znają, oraz czerwoną, jeśli się nie znają. W tym języku trzy osoby, o których mowa w pytaniu, to monochromatyczny trójkąti, czyli taki którego wszystkie boki mają ten sam kolor.
Oczywiście dla trzech punktów łatwo jest podać takie kolorowanie bez monochromatycznego trójkąta.
Oznacza to, że w grupie trzech osób może się zdarzyć, że jednocześnie pewne dwie osoby się znają i pewne dwie osoby się nie znają. Jak to jest w przypadku czterech osób? Zauważmy, że możemy zacząć kolejny rysunek, dodając do poprzedniego jeden punkt.
Tutaj też względnie łatwo wskazać konfigurację bez monochromatycznego trójkąta. Spróbujmy teraz z pięcioma punktami.
Nasza pierwsza próba jest nieudana. Zauważmy jednak, że przeniesienie środkowego punktu poza czworokąt utworzony przez pozostałe punkty zwiększa jego czytelność. Spróbujmy raz jeszcze.
W tym momencie widać, jak poprawić to kolorowanie.
To mały, ale ważny sukces. Wiemy już, że pięć osób nie wystarcza, aby zagwarantować istnienie poszukiwanej trójki. Sukces ten zachęca jednak do kolejnej próby: być może podobną konstrukcję uda się stworzyć również dla sześciu punktów?
Szósty punkt: pierwsza krawędź jest niebieska
Do naszego rysunku dodajemy szósty punkt. Załóżmy, że pierwsza dorysowana krawędź jest niebieska. Zauważmy, że chcąc uniknąć monochromatycznych trójkątów, kolory krawędzi przy szóstym wierzchołku są wymuszone.
Zauważmy, że nie musimy nawet używać wszystkich krawędzi (odcinków) nowego wierzchołka, aby wymusić monochromatyczny trójkąt. Kolejną ważną umiejętnością dla matematyka jest abstrahowanie, czyli pomijanie w analizie rzeczy nieistotnych. W tym przypadku dokonamy tego poprzez usunięcie wierzchołków, z których nie korzystamy przy wymuszaniu monochromatycznego trójkąta.
Szósty punkt: pierwsza krawędź jest czerwona
Załóżmy teraz, że pierwsza dorysowana krawędź do szóstego wierzchołka jest czerwona. Wówczas kolejne kolory są już wymuszone.
W tym przypadku również nie musimy korzystać ze wszystkich wierzchołków.
Wspólny mianownik
W obu omówionych przypadkach korzystaliśmy z różnych wierzchołków, ale otrzymaliśmy zasadniczo te same struktury. Obie siłą rzeczy mają monochromatyczny trójkąt, a czwarty wierzchołek charakteryzuje się tym, że wszystkie krawędzie z niego wychodzące są tego samego koloru.
Jeżeli każda para punktów jest połączona krawędzią jednego z dwóch kolorów, to trzy jednakowo pokolorowane krawędzie wychodzące z jednego punktu wymuszają monochromatyczny trójkąt wśród tych czterech punktów.
Zwróćmy uwagę, że w naszym rysunku na pięciu wierzchołkach w każdym punkcie dwie krawędzie były niebieskie, a dwie czerwone. Jesteśmy w stanie sformułować i udowodnić twierdzenie.
Twierdzenie 2 Wśród dowolnych sześciu osób znajdziemy trzy, które parami się znają, albo trzy, z których żadne dwie się nie znają.
Dowód. Wybierzmy dowolny wierzchołek \(A\). Wychodzi z niego pięć krawędzi. Trzy z nich muszą być w tym samym kolorze. Możemy założyć, że są one czerwonego koloru. Załóżmy, że czerwone są krawędzie \(AB\), \(AC\) i \(AD\) łączące \(A\) odpowiednio z wierzchołkami \(B\), \(C\) i \(D\). Pozostaje przyjrzeć się połączeniom między punktami \(B\), \(C\) i \(D\). Jeśli choć jedna z krawędzi \(BC\), \(BD\) lub \(CD\) jest czerwona, to wraz z punktem \(A\) tworzy czerwony trójkąt. Jeżeli natomiast żadna z nich nie jest czerwona, wszystkie trzy muszą być niebieskie — wtedy \(B\), \(C\) i \(D\) tworzą niebieski trójkąt. Trzeciej możliwości nie ma.
Najważniejszy nie jest jednak sam wynik. Istotne jest to, skąd wziął się dowód. Próbowaliśmy zbudować kolorowanie, które przeczyłoby twierdzeniu, i obserwowaliśmy, w jaki sposób każda konstrukcja się psuje. W końcu przestaliśmy pytać: Jak pokolorować następny odcinek?, a zaczęliśmy pytać: Dlaczego każda próba nie może się udać?.
To właśnie może być produktywna porażka. Nieudane rysunki nie były czasem straconym. Dostarczyły materiału, z którego wyłonił się argument. Gotowy dowód jest krótki i wygląda niemal na oczywisty, ale dopiero po jego odkryciu. Wcześniejsze błądzenie pozwala zobaczyć coś, co czysty zapis dowodu łatwo ukrywa.
Zadania
- Udowodnij, że suma dowolnych dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest parzysta. Przeanalizuj swój dowód. Czy jesteś w stanie powiedzieć coś więcej o tej sumie? Czy jest ona podzielna przez 4? Czy jest ona podzielna przez 8?
- Udowodnij, że suma liczby dwucyfrowej i liczby o odwróconych cyfrach jest podzielna przez \(11\). Przeanalizuj dowód. Czy widzisz inne dzielniki?
- Sprawdź, czy liczby postaci \(2^{2^n} +1\) są pierwsze.
- Na podstawie poniższego rysunku zaproponuj alternatywny dowód wzoru \[\begin{equation*} 1+3+ \ldots +(2n-3)+(2n-1)=n^2. \end{equation*}\]
- Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi \[\begin{equation*} 1+7+19+ \ldots + (3n^2-3n+1) = n^3. \end{equation*}\]